Хвиля 30: ряди Фур'є, гравітаційне лінзування та фронт епідемії

Показники платформи

Симуляції Хвилі 30

🎵 Конструктор рядів Фур'є

Математика

Будь-який періодичний сигнал можна записати як суму синусоїд: f(x) = ∑ c_n cos(nx + φ_n). Конструктор рядів Фур'є обчислює аналітичні коефіцієнти для п'яти класичних форм хвиль одним натисканням кнопки — без жодного чисельного інтегрування.

• Квадратна хвиля — лише непарні гармоніки; амплітуда 4/(πn), усі в одній фазі.
• Пилкоподібна — усі гармоніки; амплітуда 2/(πn), знаки чергуються.
• Трикутна — непарні гармоніки; амплітуда 8/(π²n²), фаза циклічно змінюється за floor((n−1)/2).
• Імпульс — усі гармоніки через обвідну sinc; шпаруватість 20%.
• Напіввипрямлена синусоїда — окрема формула для n=1 та парних n.

Анімація епіциклів

Функція drawEpicycles(t) з'єднує обертові плечі спадної довжини, по одному на кожну гармоніку. Кінчик останнього плеча промальовує реконструйовану хвилю. Живий частотний спектр у вигляді стовпчикової діаграми під канвою показує амплітуду відносно номера гармоніки й оновлюється при зміні кількості членів.

Що спробувати

• Додавайте члени по одному до квадратної хвилі та спостерігайте явище Гіббса біля розриву.
• Перемкніться на трикутну хвилю — вищі гармоніки згасають як 1/n², тож збіжність набагато швидша.
• Встановіть N=1 або N=3 для пульсуючого одноплечового варіанта, щоб чітко побачити фазові співвідношення.

🔭 Гравітаційне лінзування

Зворотне трасування променів

Для кожного пікселя (i, j) у площині зображення функція deflect(ix, iy) обчислює кутове положення на небі, звідки насправді прийшло світло. Канва заповнюється шляхом вибірки з позаекранного вихідного зображення за цими перенаправленими координатами.

Реалізовано три моделі лінз:

• Точкова маса — точний результат ЗТВ: β = θ − θ_E²/|θ|. Дає знамените кільце Ейнштейна, коли джерело й лінза ідеально вирівняні.
• SIS (сингулярна ізотермічна сфера) — постійний кут відхилення α = θ_E · θ̂; моделює лінзи галактичного масштабу з приблизно плоскими кривими обертання.
• NFW (Наварро–Френк–Вайт) — радіально змінний профіль α(r/r_s) з логарифмічно-арксеканс формулою, що описує гало холодної темної матерії.

Що спробувати

• Точкова маса з квазаром як джерелом — вирівняйте джерело з лінзою, щоб замкнути кільце Ейнштейна.
• Перемкніться на SIS і зверніть увагу, що тангенціальні дуги протяжніші за радіальні.
• Перетягніть повзунок радіуса Ейнштейна, щоб побачити, як масштабується вся геометрія лінзування.

🦠 Фронт епідемії

Реакційно-дифузійна модель SIR

Класична компартментна модель SIR розширена на 2D-простір додаванням дифузійного члена для інфікованої популяції:

• dS/dt = −β·S·I
• dI/dt = β·S·I − γ·I + D·∇²I
• dR/dt = γ·I

Просторове поширення входить через лапласіанів член D·∇²I, дискретизований п'ятиточковим скінченно-різницевим шаблоном з граничними умовами Неймана (без потоку). Інтегрування виконується явним методом Ейлера (FTCS) з Δt = 0.25, виконуючи 1–20 кроків на кадр анімації залежно від повзунка швидкості.

Швидкість фронту Фішера–КПП

Далеко попереду фронту хвилі S ≈ 1, а густина інфікованих мала. У цій межі рівняння для I лінеаризується до рівняння Фішера, мінімальна швидкість фронту якого дорівнює v = 2&sqrt;(D·(β−γ)). Симуляція показує R₀ = β/γ великим шрифтом з кольоровим кодуванням: зелений (R₀ < 1, епідемія згасає) через помаранчевий до червоного (R₀ > 2, швидке поширення).

Початкові умови

• Центр — одне кругле вогнище в центрі сітки; фронт розширюється симетрично.
• 4 вогнища — чотири кутові вогнища; фронти хвиль стикаються та інтерферують у центрі.
• Край — інфікований весь нижній ряд; плоский фронт хвилі проходить прямо через сітку.
• Випадково — ~2% клітинок заражені з низькою густиною; кілька одночасних вогнищ зародження.

Що спробувати

• Встановіть β = 0.07, γ = 0.08 (R₀ < 1) — вогнище інфекції згасає, не поширюючись.
• Підніміть D до максимуму з вогнищем у центрі — ширший, швидший фронт; менше клітин у стані одужання позаду.
• Використайте «4 вогнища» і спостерігайте, як зустрічні фронти зливаються та згасають.
• Перемкніться на «Край», щоб виміряти швидкість фронту візуально проти прогнозу Фішера–КПП.

Технічні деталі

• Фур'є — getCoeffs(type, maxN) повертає звичайний масив об'єктів {n, amp, phase}, обчислених у замкнутій формі; жодного чисельного інтегрування; drawEpicycles(t) рендерить анімацію обертових плечей через Canvas 2D зі слідом хвилі, що тягнеться позаду.
• Лінзування — deflect(ix, iy) працює в нормалізованих кутових координатах; уся канва заповнюється єдиним записом ImageData за кадр; вихідний візерунок промальовується один раз на позаекранну канву та вибирається квазібілінійним пошуком за цілими координатами.
• Епідемія — три пари Float32Array для подвійної буферизації S, I, R; внутрішній цикл обробляє кожну з 150×150 = 22 500 клітинок за крок; сітка рендериться в піксельний ImageData 600×600 зі змішуванням кольорів S→синій, I→червоний, R→сірий.
• Усі симуляції Хвилі 30 виходять з повними EN + UK сторінками та зареєстровані в simulations.json.

Теги

Ряди Фур'є Епіцикли Гармонічний аналіз Гравітаційне лінзування Загальна теорія відносності Темна матерія Модель SIR Реакція-дифузія Епідеміологія Фішер–КПП Хвиля 30

Анонс Хвилі 31

Для наступного релізу розробляються три симуляції:

• Фрактал Ньютона — метод Ньютона для z^n−1 на комплексній площині; кольорові басейни притягання, що розкривають вражаючі фрактальні межі.
• Пісочна купа — самоорганізована критичність Бака–Танга–Візенфельда; статистика лавин за степеневим законом виникає із простого правила обвалення.
• Комплексні функції — розфарбування домену f(z): відтінок кодує аргумент, яскравість — модуль; візуалізація полюсів, нулів, розрізів гілок.

Усі симуляції Хвилі 31 вийдуть з EN + UK сторінками в день запуску.