Хвиля 109 — 20 нових фізичних і наукових симуляцій (загалом 940, −60 до 1000)

Кожна симуляція на цьому сайті починалася з питання: як насправді виглядає це рівняння? Довжину Дебая викладають на кожному курсі фізики плазми як λ_D = √(ε₀k_BT / nq²), формулу, що передбачає, як далеко електростатичне збурення проникає в плазму, перш ніж бути екранованим. Але поки ви не побачите, як теплова карта електричного потенціалу експоненційно згасає від пробного заряду, це екранування залишається абстракцією. Хвиля 109 ставить це питання двадцять разів у стількох же галузях фізики й науки.

Фізика

Довжина Дебая — теплова карта екранування λ_D

У плазмі вільні електрони перерозподіляються навколо будь-якого надлишкового заряду, щоб нейтралізувати його на характерній довжині Дебая. Симуляція розміщує пробний заряд у центрі 2D-сітки плазми та відображає результуючий електростатичний потенціал у вигляді псевдокольорової теплової карти, демонструючи експоненційний спад φ(r) = (q / 4πε0r) exp(−r / λD). Повзунки керують температурою електронів T і концентрацією n, і теплова карта перемальовується в реальному часі, коли λ_D масштабується як √(T/n). Перехід від дифузного, далекосяжного потенціалу за низької густини до щільно локалізованої гарячої точки за високої густини одразу видно за кольором. Додатковий графік показує радіальний профіль у логарифмічному масштабі, підтверджуючи експоненційну обвідну.

Топологічні дефекти — вихори БКТ у 2D XY-моделі

Перехід Березинського-Костерліца-Таулеса — один із найнезвичайніших фазових переходів у статистичній механіці: він відбувається у двовимірних системах, де справжній далекий порядок заборонений теоремою Мерміна-Вагнера, але щось помітно різке все одно трапляється за критичної температури TБКТ. Механізм — це розпад топологічних дефектів: пар вихор-антивихор у 2D XY-моделі, де кожен спін є одиничним вектором на площині. Нижче TБКТ вихори й антивихори лишаються зв'язаними в пари, і система має квазідалекий порядок з алгебраїчно спадними кореляціями. Вище неї вільні вихори розмножуються, і кореляції спадають експоненційно.

Симуляція виконує прохід Монте-Карло 2D XY-моделі на квадратній ґратці, відображаючи орієнтації спінів як стрілки, зафарбовані за кутом. Вихори виявляються обчисленням числа обертання навколо кожної плакетки й позначаються червоними (додатний) і синіми (від'ємний) маркерами. Перетягування повзунка температури через TБКТ демонструє видиме розмноження незв'язаних пар дефектів.

Стохастичний резонанс — крива SNR бістабільної моделі Ланжевена

Стохастичний резонанс — контрінтуїтивне явище, коли додавання шуму до системи може покращити її здатність виявляти слабкий сигнал. Частинка у двоямному потенціалі під дією слабкої підпорогової періодичної сили не може самостійно подолати бар'єр — але за оптимального рівня шуму теплові флуктуації штовхають її через бар'єр синхронно з силою, що діє, породжуючи різкий пік відношення сигнал/шум як функції амплітуди шуму. Рівняння Ланжевена, що керує динамікою:

dx/dt = −dV/dx + A cos(ωt) + η(t)
V(x) = −x²/2 + x⁴/4
⟨η(t)η(t′)⟩ = 2Dδ(t−t′)

Симуляція чисельно інтегрує це рівняння для великого ансамблю частинок, проходячи по інтенсивності шуму D і обчислюючи вихідний SNR на частоті збудження за допомогою віконного ДПФ. Отримана дзвоноподібна крива SNR будується в реальному часі, з позначеним оптимальним рівнем шуму. Ефект стохастичного резонансу стосується сенсорної нейронауки, де нейрони, вочевидь, використовують фоновий шум для виявлення слабких порогових стимулів.

Гранулярне заклинювання — бідисперсне пакування φ_J ≈ 0.84

Коли щільний гранулярний матеріал, такий як пісок, скляні кульки чи вологий кавовий осад, стискають або зсувають, він зазнає переходу заклинювання: раптово набуває жорсткості й чинить опір деформації, як тверде тіло. Перехід відбувається за критичної частки пакування φ_J, яка залежить від форми частинок і розподілу за розміром. Для бідисперсної суміші дисків (два розміри частинок у співвідношенні 1:1, обраному для придушення кристалізації) точка заклинювання лежить поблизу φ ≈ 0.84 у двох вимірах.

Симуляція використовує рушій молекулярної динаміки з відштовхувальними контактами м'яких сфер для стискання бідисперсної системи дисків із постійною швидкістю, відстежуючи тиск P і координаційне число z у міру зростання частки пакування. Перехід заклинювання видно як різке зростання тиску та стрибок z до максвеллівського ізостатичного значення z = 2d = 4. Візуалізація пакування в реальному часі забарвлює частинки за кількістю контактів, розкриваючи виникнення жорсткої мережі силових ланцюгів за φ_J.

Дифракція Брегга — nλ = 2d sinθ, порошкова картина ГЦК/ОЦК

Рентгенівська дифракція — головний інструмент визначення кристалічної структури. Коли монохроматичний промінь довжиною хвилі λ падає на кристалічну ґратку з міжплощинною відстанню d під ковзним кутом θ, конструктивна інтерференція виникає щоразу, коли виконується закон Брегга: nλ = 2d sinθ. Різні сімейства площин (що характеризуються індексами Міллера hkl) дають піки під різними кутами, а інтенсивність кожного піку залежить від структурного фактора, який кодує положення атомів у межах елементарної комірки.

Симуляція обчислює порошкові дифракційні картини для ГЦК, ОЦК і простих кубічних структур, підсумовуючи всі дозволені відбиття аж до заданого користувачем максимального 2θ. Картина відображається як штрихова діаграма, накладена на змодельовану кільцеву картину Дебая-Шеррера. Перемикання між ГЦК і ОЦК миттєво змінює систематичні погасання: ГЦК забороняє відбиття hkl зі змішаною парністю, тоді як ОЦК придушує піки, де h+k+l непарне.

Пружинна мережа — критерій Максвелла z_c ≈ 4

Джеймс Клерк Максвелл показав у 1864 році, що мережа пружин механічно жорстка тоді й лише тоді, коли середнє координаційне число z — середня кількість пружин на вузол — задовольняє z ≥ 2d, де d — просторова розмірність. У двох вимірах критичний поріг становить zc ≈ 4. Нижче цього значення мережа має «мляві» моди: масштабні деформації, що не потребують енергії. Вище нього мережа жорстка, і кожна деформація вимагає пружної енергії.

Симуляція генерує випадкові пружинні мережі на 2D-сітці з регульованою зв'язністю та обчислює нормальні моди за допомогою розрідженої лінійної алгебри. Мляві моди позначені червоним, а жорсткі — синім, а їхня кількість відстежується відносно передбачення Максвелла. Натискання на вузол і перетягування показує, чи мережа деформується жорстко, чи компенсує зміщення через безенергетичні мляві перебудови. Перехід від млявості до жорсткості в міру додавання зв'язків по одному — яскраве втілення критерію Максвелла.

Квантова фізика

Випромінювання квантових точок — рівняння Бруса, спектри CdSe

Напівпровідникові квантові точки — нанорозмірні кристали, достатньо малі, щоб квантове обмеження зсувало їхню заборонену зону, роблячи колір випромінювання прямою функцією розміру. Рівняння Бруса дає залежну від розміру заборонену зону сферичної квантової точки радіусом R:

E(R) = Eg,bulk + ħ²π² / (2μR²) − 1.8e² / (4πεε0R)

Для квантових точок CdSe заборонена зона об'ємного матеріалу становить 1,74 еВ (ближній інфрачервоний діапазон), і обмеження зсуває випромінювання у видиму область у синій бік у міру зменшення радіуса з 5 нм до 1,5 нм, проходячи від червоного через оранжевий, жовтий і зелений. Симуляція відображає спектр випромінювання як гаусів пік, центральна довжина хвилі якого визначається рівнянням Бруса, а ширина моделює фононне розширення. Палітра кольорових кіл представляє точки різних розмірів, що світяться кольором свого випромінювання. Перетягування повзунка радіуса викликає миттєву зміну кольору, яка точно відтворює райдужну палітру, що видно на фотографіях розчинів квантових точок CdSe.

Спінова ґратка — Монте-Карло Метрополіса феромагнетика Гейзенберга, T_c ≈ 2.27J/k

Модель Гейзенберга — квантово-механічне узагальнення моделі Ізінга: кожен вузол ґратки несе спіновий вектор S, а не скаляр ±1, а гамільтоніан має вигляд H = −J Σ⟨ij⟩ Si · Sj. Тривимірна модель Гейзенберга має феромагнітний перехід за Tc ≈ 2.27J/kB для простої кубічної ґратки.

Симуляція виконує Монте-Карло Метрополіса на 3D-ґратці Гейзенберга, відображаючи 2D-переріз як кольорове поле (орієнтація спіну відображена на відтінок). Намагніченість, питома теплоємність CV і магнітна сприйнятливість χ будуються як функції температури. Прохід через Tc показує зникнення параметра порядку, пік питомої теплоємності та розбіжність сприйнятливості — класичні ознаки неперервного фазового переходу.

Оптика

Диск Ейрі — функція Бесселя J₁, критерій Релея, 2D ImageData

Коли світло від точкового джерела проходить крізь кругову апертуру, воно не утворює ідеального точкового зображення. Дифракція розсіює світло в картину Ейрі, профіль інтенсивності якої:

I(θ) = I0 [2J1(ka sinθ) / (ka sinθ)]²

Критерій розрізнення Релея стверджує, що два точкові джерела щойно розрізняються, коли центральний максимум одного потрапляє на перший нуль іншого, за кутової відстані θ = 1.22λ/D. Симуляція відображає 2D-картину Ейрі, обчислюючи функцію Бесселя на пікселній сітці за допомогою API ImageData, досягаючи часу кадру менше мілісекунди для полотна 512×512. Два регульовані точкові джерела можна розмістити поруч; їхня комбінована картина інтенсивності відображається разом із лінією критерію Релея.

Хімія

Фронт реакції — PDE Фішера-КПП, v = 2√(Dr)

Рівняння Фішера-КПП поєднує локальний логістичний ріст із просторовою дифузією:

∂u/∂t = D ∂²u/∂x² + ru(1−u)

За різких початкових умов асимптотична швидкість фронту хвилі становить v = 2√(Dr), незалежно від початкового профілю. Реалізовано як моностабільний фронт Фішера-КПП, так і бістабільний варіант біжучої хвилі з регульованими користувачем параметрами. Одновимірний просторовий профіль відображається як рухома смуга інтенсивності, положення фронту в часі будується для перевірки формули асимптотичної швидкості, а фазовий портрет у супутній системі відліку показує гетероклінічну орбіту, що з'єднує два стани рівноваги.

Термодинаміка

Ентропія змішування — ΔS_mix = −nRΣx_i ln x_i, симуляція частинок

Коли ідеальні гази змішуються, ентропія зростає на ΔSmix = −nRΣxi ln xi, завжди додатна, досягаючи максимуму за рівних пропорцій. Симуляція розміщує частинки двох або трьох видів в окремих відсіках і прибирає роздільну перегородку. Кожна частинка виконує випадкове блукання на 2D-сітці, а миттєва ентропія змішування обчислюється з емпіричного складу в кожній комірці. Наближення до максимальної ентропії будується в реальному часі з накладеною теоретичною асимптотою. Користувачі можуть порівнювати змішування з різними коефіцієнтами дифузії, щоб побачити, як швидкість перенесення впливає на часову шкалу, але не на термодинамічну кінцеву точку.

Математика

Мильна бульбашка — релаксація Лапласа методом Гаусса-Зейделя, мінімальна поверхня

Мильні плівки мінімізують свою площу за граничних обмежень, задовольняючи рівняння Лапласа ∇²h = 0 для функції висоти. Схема релаксації Гаусса-Зейделя ітерує:

hi,j ← (hi+1,j + hi−1,j + hi,j+1 + hi,j−1) / 4

до збіжності. Симуляція дозволяє користувачам малювати довільні граничні криві на сітці та спостерігати, як мінімальна поверхня релаксує до свого положення, відображена як 2D-карта, зафарбована за висотою, і за бажанням як 3D-сітка. Швидкість збіжності з послідовною верхньою релаксацією (SOR) порівнюється зі стандартним методом Гаусса-Зейделя. Зв'язок з електростатикою — де те саме рівняння керує електричним потенціалом між провідниками — демонструється перемиканням інтерпретації межі з висоти на напругу.

3D клітинний автомат — Three.js InstancedMesh, сітка 20³, 5 правил

Симуляція запускає 3D клітинний автомат 20×20×20, використовуючи п'ять різних наборів правил, взятих із розширеної нотації Birth/Survival/Neighbourhood. Жива сітка відображається за допомогою Three.js InstancedMesh для 8000 кубів з інтерактивною частотою кадрів, причому стан кожної клітинки відображається на прозорість і колір. Правила включають тривимірний аналог гри «Життя», правило кристалічного росту, що породжує дендритні форми, хаотичне правило, яке заповнює об'єм аперіодичною турбулентністю, та два правила, що генерують самоподібні фрактальні структури. Внутрішня структура розкривається регулюванням порогу прозорості, що робить малоактивні клітинки прозорими.

Алгоритми

Булева мережа — модель Кауфмана NK, критична межа фази K = 2

Модель булевої мережі NK Стюарта Кауфмана розміщує N бінарних вузлів, кожен з яких отримує вхід рівно від K випадково обраних інших вузлів і оновлюється за випадковою булевою функцією. За критичної зв'язності K = 2 мережа перебуває на межі між порядком і хаосом: атрактори масштабуються як √N, інформація поширюється глобально, а однобітові збурення ані не згасають одразу, ані не каскадують нескінченно — властивості, які Кауфман запропонував як ознаки біологічних генних регуляторних мереж.

Симуляція реалізує мережі NK із регульованими N (до 64) і K, візуалізуючи простір станів як мережу вузлів, зафарбованих за бінарним станом, з виділеними циклами атракторів. Відпалене наближення Дерріди для межі фази Kc = 1/(2p(1−p)) накладено на фазову діаграму K–p, а експерименти зі збурення окремого вузла безпосередньо досліджують межу порядок-хаос.

Науки про життя

Хвиля популяції — 2D Фішер-КПП, Float32Array, ефект Оллі

Двовимірне рівняння Фішера-КПП описує просторову інвазію виду по ландшафту. Ця симуляція розв'язує його на сітці Float32Array методом скінченних різниць, відображаючи густину популяції u(x,y,t) як псевдокольорову карту. Ефект Оллі — знижений подушний ріст за низької густини — враховано через модифікований член росту:

f(u) = ru(u−a)(1−u),   0 < a < 1

Нижче порогу Оллі a локальні популяції скорочуються, а не зростають, створюючи мінімальний життєздатний розмір ділянки та критичну швидкість хвилі, нижче якої інвазія зазнає невдачі. Порівняння простого логістичного росту з бістабільною моделлю Оллі показує, як критичний поріг створює різкі межі інвазії та «борг вимирання» у фрагментованих ландшафтах.

Мережі

Мережева перколяція — Ердеша-Реньї, Union-Find, гігантська компонента

Для випадкового графа Ердеша-Реньї G(N,p) гігантська зв'язна компонента розміром O(N) різко виникає за середнього степеня ⟨k⟩ = pN = 1. Симуляція додає ребра по одному та відстежує розміри компонент за допомогою Union-Find зі стисненням шляху та об'єднанням за рангом, досягаючи майже O(1) амортизованого часу об'єднання. Частка гігантської компоненти S = |Cmax|/N будується відносно ⟨k⟩ у реальному часі з накладеним передбаченням самоузгодженості середнього поля S = 1 − exp(−⟨k⟩S). Розмір вузлів пропорційний їхній компоненті, що робить момент самозародження гігантської компоненти візуально драматичним.

Генеративне мистецтво

Випадковий ріст — фрактал Едена + DLA, D ≈ 1.71 методом box-counting

Модель Едена вирощує компактний кластер, випадково обираючи периметральний вузол; результат приблизно круглий із шорсткою, але нефрактальною поверхнею. Дифузійно-обмежена агрегація (DLA) запускає випадкових блукальців здалеку та додає кожного там, де він вперше торкається кластера, породжуючи розріджену розгалужену структуру з фрактальною розмірністю D ≈ 1.71 у двох вимірах. Симуляція запускає обидві моделі паралельно та обчислює фрактальну розмірність методом box-counting у реальному часі, будуючи log N(ε) відносно log(1/ε) з регресійною апроксимацією, що збігається до теоретичної фрактальної розмірності в міру росту кластера. Візуальний контраст між компактним кластером Едена та павутинистим агрегатом DLA одразу робить очевидним зв'язок між локальними правилами росту та великомасштабною фрактальною геометрією.

Космічна наука

Холлівський двигун — дрейф E×B, питомий імпульс, тяга

Двигуни на ефекті Холла — панівна технологія руху для утримання супутників на позиції та підняття орбіти. Іони ксенону прискорюються електричним полем E до швидкостей витікання 15–30 км/с (питомий імпульс 1500–3000 с), тоді як електрони захоплюються в замкнені дрейфові орбіти Холла v = E×B/B² поперечним магнітним полем, що заважає їм нейтралізувати прискорювальний потенціал.

Симуляція моделює траєкторії частинок обох видів за допомогою штовхача Боріса у схрещених полях розрядного каналу, обчислюючи усереднену за часом тягу та питомий імпульс. Анімовані кільця дрейфу електронів візуалізують струм Холла. Повзунки керують напругою розряду, витратою маси палива та геометрією каналу; тяга F = ṁve і питомий імпульс = ve/g0 оновлюються безперервно, наочно показуючи, як невеликі зміни напруги дають великі зміни питомого імпульсу за помірної ціни тяги.

Злива космічних променів — каскад Хайтлера, e⁻/γ/μ/π, профіль NKG

Коли високоенергетичний протон космічних променів вдаряється об верхні шари атмосфери, він ініціює широку атмосферну зливу. Бінарна каскадна модель Хайтлера описує електромагнітну складову: кожен електрон випромінює гальмівний фотон, а кожен фотон народжує пару електрон-позитрон, подвоюючи кількість частинок на кожній радіаційній довжині X0, доки енергії не впадуть нижче критичної енергії Ec і злива не досягне максимальної глибини Xmax.

Симуляція генерує розгалужене каскадне дерево з первинної енергії 1–100 ПеВ, відстежуючи електрони, фотони, мюони та піони різними кольорами. Профіль зливи (кількість частинок відносно атмосферної глибини) слідує функції Нішімури-Камати-Грейзена (NKG), накладеній на результат Монте-Карло. Глибина максимуму зливи Xmax зміщується залежно від маси первинної частинки, демонструючи, чому вона слугує зондом складу: протонні зливи глибші та більш флуктуаційні за залізні зливи тієї ж повної енергії.

Електроніка

Закони Кірхгофа — матриця MNA, метод Гаусса, 4 готові схеми

Модифікований вузловий аналіз (MNA) одночасно кодує закони Кірхгофа для струму та напруги як матричну систему Ax = b:

[G  B] [v]   [i]
[C  D] [j] = [e]

де G кодує провідності, B і C кодують обмеження джерел напруги, v містить вузлові напруги, j — струми віток через джерела напруги, а e — значення джерел. Симуляція будує матрицю MNA для чотирьох готових схем — дільника напруги, містка Вітстона, драбинчастої мережі та багатоджерельної схеми із залежними джерелами — і розв'язує методом Гаусса з частковим вибором головного елемента. Вузлові напруги позначені на схемі; струми віток показані спрямованими стрілками, ширина яких пропорційна величині. Зміна будь-якого значення компонента негайно оновлює розв'язок, роблячи залежність поведінки схеми від співвідношень компонентів відчутною, а не алгебраїчною.

Спробуйте самі

Шість симуляцій для початку, якщо ця хвиля для вас нова:

Переглянути весь каталог Хвилі 109 можна через індекс категорій. Усі двадцять симуляцій також доступні українською через мовний префікс /uk/.

Що далі

До мети в 1000 симуляцій залишається 60. Хвиля 110 її досягне. Поточне планування включає симуляції блокади Рідбергівських атомів, турбулентності приземного шару атмосфери, крайових станів топологічного ізолятора, оптимального транспорту (відстані Земляного Мовника), енергетичних ландшафтів згортання білка та повторний розгляд атрактора Лоренца з повним обчисленням спектра показників Ляпунова. Акцент протягом усього процесу робиться на симуляціях, що роблять конкретне кількісне передбачення видимим в інтерактивному темпі: не просто анімаціях, а інструментах для формування фізичної інтуїції щодо керівних рівнянь.

Якщо у вас є ідея симуляції, яку ви хотіли б побачити реалізованою, або модель з вашої дослідницької галузі, недостатньо представлена в інтерактивній браузерній науці, сторінка контактів відкрита. Пропозиції від дослідників і освітян уже сформували кілька хвиль, і планування Хвилі 110 ще не завершене.