Хвиля 108 — 10 нових симуляцій у генеративному мистецтві, теорії ймовірностей, гідродинаміці та алгоритмах

Є щось елегантне у чверть-колі дузі, намальованій на квадратній плитці. Сама по собі вона нічого не означає. Поверніть її випадковим чином і покладіть поруч з іншою — а потім ще з однією, і ще — і на великому масштабі проявляються емерджентні візерунки, яких не передбачала жодна окрема плитка. Це мозаїка Трюше: математична іграшка двохсотрічної давнини, яка, як виявляється, кодує глибокі ідеї про випадковість, зв'язність та перколяцію. Це також перша з десяти симуляцій Хвилі 108 — випуску, що охоплює діапазон від теорії чисел дев'ятнадцятого століття до кодів з виправленням помилок двадцятого століття та класичного ісламського мистецтва.

Генеративне мистецтво: плитки, спіралі та зіркові многокутники

Плитки Трюше

Отець Себастьєн Трюше описав свою систему мозаїк у 1704 році: візьміть квадратну плитку з діагональною лінією від одного кута до протилежного, поверніть її в один із чотирьох можливих напрямків і викладайте випадковим чином. Отримані візерунки на диво багаті — з'єднані дугами області утворюють кластери, розподіл розмірів яких пов'язаний з теорією перколяції, а межа між зв'язними областями є випадковою кривою з відомою фрактальною розмірністю. Сучасний варіант із чвертю кола (дві дуги на плитку замість діагоналі) популяризували Сиріл Сміт і Поліна Буше у 1987 році, і відтоді він став основним прийомом у практиці генеративного мистецтва.

Симуляція дозволяє регулювати роздільність сітки від 4 до 64 плиток на сторону, перемикатися між варіантами з діагоналлю та дугами, а також повністю перерандомізувати візерунок одним натисканням клавіші. Живий шар зв'язності виділяє найбільшу зв'язну область контрастним кольором, тож структура перколяції одразу стає читабельною.

Циклічні клітинні автомати

Циклічні клітинні автомати (ЦКА) — одні з найбільш візуально захопливих систем у дискретній математиці. Правило оманливо просте: клітина у стані s переходить у стан s+1 (mod k), якщо хоча б один із її сусідів уже перебуває у стані s+1. На випадковій початковій сітці малі осередки впорядкованих клітин конкурують, зливаються і врешті-решт організовують усю решітку в обертові спіральні хвилі, що прокочуються по сітці, немов клітинне полярне сяйво.

Кількість станів k, радіус околу та поріг (скільки сусідів має перебувати у стані s+1) — усе це можна регулювати. Низькі пороги дають щільні спіралі; високі пороги — розріджені, повільно рухомі фронти. Перехід між режимами різкий і має риси, що нагадують фазовий перехід у статистично-механічній системі.

Ісламські геометричні візерунки

Ісламський геометричний орнамент розвивався понад тисячоліття, ставши однією з найвитонченіших математичних художніх традицій в історії людства. В основі методу побудови лежать плитки гіре — набір із п'яти форм многокутників (декагон, пентагон, видовжений шестикутник, «краватка-метелик» і ромб), кути яких кратні 36° — що вкривають площину з десятикратною та п'ятикратною локальною симетрією. У плитки вписуються зіркові многокутники виду {n/k}, лінії яких продовжуються, утворюючи переплетені стрічкові візерунки, що зустрічаються в мечетях від Кордови до Самарканда.

Симуляція генерує сімейства зіркових многокутників, параметризовані числом n (кількість променів) та k (інтервал пропуску), і вкриває полотно за допомогою відповідної побудови гіре. Ви можете обрати будь-яку групу симетрії з 17 групи шпалер, якими користувалися ісламські майстри, та експортувати візерунок у форматі SVG для використання в дизайнерських роботах.

Теорія ймовірностей: від виявлення шахрайства до стохастичних фінансів

Закон Бенфорда

У 1938 році Френк Бенфорд помітив, що перша значуща цифра чисел, узятих із багатьох реальних наборів даних, розподілена нерівномірно. Цифра 1 з'являється як перша цифра приблизно у 30% випадків; цифра 9 — лише приблизно у 4,6% випадків. Розподіл логарифмічний: P(d) = log10(1 + 1/d) для d ∈ {1, ..., 9}. Цей контрінтуїтивний закон виконується для чисельності міст, фізичних констант, записів у фінансових бухгалтерських книгах, довжин річок та чисел Фібоначчі — по суті, для будь-якого набору даних, що охоплює кілька порядків величини без штучної верхньої межі.

Закон Бенфорда тепер регулярно використовують для виявлення шахрайства в податкових деклараціях, результатах виборів та корпоративній бухгалтерській звітності: сфабриковані числа рідше починаються з 1, ніж справжні дані. Симуляція дозволяє завантажити CSV-файл або обрати один із вбудованих наборів даних (послідовність Фібоначчі, степені двійки, чисельність населення та рівномірно розподілені випадкові дані) і накладає спостережуваний розподіл першої цифри на теоретичну криву Бенфорда, відображаючи результат хі-квадрат тесту в реальному часі.

Розорення гравця

Задача про розорення гравця — один із найдавніших результатів теорії ймовірностей. Гравець починає з k доларами і ставить по одному долару за раунд з ймовірністю p виграти кожну ставку, граючи проти закладу з n - k доларами. Ймовірність того, що гравець досягне n доларів раніше, ніж збанкрутує, дорівнює:

P(ruin) = 1 - (1 - (q/p)^k) / (1 - (q/p)^n)   when p ≠ q
P(ruin) = 1 - k/n                               when p = q = 0.5

Симуляція запускає тисячі одночасних випадкових блукань, зіставляючи емпіричну ймовірність розорення з теоретичною кривою, коли ви регулюєте k, n та p. Сама по собі збіжність симуляції до теорії повчальна: навіть із чесною монетою й рівними ставками будь-який скінченний гравець, що грає проти нескінченно багатого закладу, приречений на розорення в довгостроковій перспективі.

Процес Вінера та стохастичне числення

Процес Вінера (стандартний броунівський рух) — це неперервно-часова границя простого випадкового блукання. Це базовий елемент сучасного стохастичного числення, на якому ґрунтуються формула ціноутворення опціонів Блека-Шоулза, модель Орнштейна-Уленбека для процесів із поверненням до середнього та рівняння дифузії у фізиці. Симуляція одночасно відображає три пов'язані процеси:

• Стандартний броунівський рух W(t): незалежні гаусові прирости з дисперсією dt.
• Геометричний броунівський рух S(t) = S(0) exp((μ - σ²/2)t + σW(t)): канонічна модель цін акцій, зі зносом μ та волатильністю σ.
• Процес Орнштейна-Уленбека dX = θ(μ - X)dt + σdW: із поверненням до середнього, використовується в моделях відсоткових ставок та фізиці колоїдних частинок.

Огинаючі вибіркових траєкторій, зростання емпіричної дисперсії та стаціонарний розподіл процесу ОУ — усе це відображається поряд із траєкторіями, роблячи теоретичні передбачення безпосередньо перевірюваними на інтерактивній швидкості.

Регресія до середнього

Френсіс Гальтон відкрив регресію до середнього у 1886 році, вивчаючи зріст батьків та їхніх дорослих дітей. Високі батьки, як правило, мають дітей нижчих за себе; низькі батьки мають вищих дітей. Це не якийсь біологічний механізм корекції, а те, що екстремальні значення в будь-якому шумному вимірювальному процесі частково зумовлені випадковістю — а випадковість не зберігається. Цей ефект повсюдний: він пояснює, чому «прокляття обкладинки Sports Illustrated» ніби приречує спортсменів, що потрапили на обкладинку, чому учні, які набрали найвищі бали на попередньому тесті, зазвичай покращують результат менше за середнє на наступному тесті, і чому багато медичних втручань здаються ефективними, навіть якщо це не так.

Симуляція генерує двовимірні нормальні дані з регульованою кореляцією r та показує лінію регресії, еліптичні контури рівної щільності та класичну гальтонівську стрілку «регресії до посередності». Додаткова панель демонструє ефект у сценарії повторних вимірювань, тож механізм стає відчутно зрозумілим, а не абстрактно проголошеним.

Гідродинаміка: в'язка течія в трубі

Профілі течії в трубі

Течія в'язкої рідини через циліндричну трубу під дією сталого градієнта тиску — одна з небагатьох задач гідромеханіки, що має точний аналітичний розв'язок. Для ламінарної течії рівняння Гагена-Пуазейля дає параболічний профіль швидкості:

u(r) = (ΔP / 4ηL) (R² - r²)

де ΔP — перепад тиску, L — довжина труби, η — динамічна в'язкість, R — радіус труби, а r — радіальна відстань від осьової лінії. Максимальна швидкість у центрі рівно вдвічі більша за середню швидкість — результат, що зустрічається на кожному курсі гідромеханіки. Коли число Рейнольдса Re = ρuD/η перевищує приблизно 2300, течія переходить у турбулентну, і профіль стає пласким, набуваючи форми логарифмічного закону стінки.

Симуляція відображає поруч і ламінарну параболу, і турбулентний профіль, з повзунком, що прокручує число Рейнольдса через перехідну область. Лінії струму показують траєкторії окремих частинок рідини; кольорова карта перерізу відображає локальну величину швидкості всередині труби. Різкий перехід між двома режимами — одна з великих невирішених проблем класичної фізики — видно як раптову зміну форми профілю швидкості.

Алгоритми: виправлення помилок і теорія кодування

Коди Хеммінга з виправленням помилок

Річард Хеммінг винайшов свої коди з виправленням помилок у 1950 році через розчарування комп'ютером Bell Labs, який постійно відкидав його пакетні завдання на вихідних щоразу, коли натрапляв на помилку парності. Код Хеммінга(7,4) кодує 4 біти даних у 7 бітах, додаючи 3 біти парності, розміщені на позиціях, що є степенями двійки. Кожен біт парності покриває певну підмножину позицій даних, утворюючи систему рівнянь, яка може точно вказати, який саме один біт було інвертовано — не просто виявити, що сталася помилка, а виправити її.

Syndrome = P1 P2 P3   (XOR of covered bit positions)
If syndrome = 0: no error
If syndrome = 5: bit 5 is flipped — correct it

Симуляція крок за кроком проводить вас через кодування, передачу з внесеними одиночними бітовими помилками та декодування синдрому. Ви можете клацнути, щоб інвертувати окремі біти, і спостерігати, як обчислення синдрому оновлюється в реальному часі. Також доступні розширені коди Хеммінга із загальним бітом парності (SECDED — виправлення однієї помилки, виявлення двох) — саме такі коди використовуються в ECC-пам'яті кожного сучасного сервера. Розуміння кодів Хеммінга — це вхідні двері до кодів Ріда-Соломона (що використовуються в QR-кодах і компакт-дисках), LDPC-кодів (що використовуються в Wi-Fi та 5G) та глибокого зв'язку між теорією кодування й інформаційно-теоретичною пропускною здатністю.

Геометрія: багатогранники у трьох вимірах

Дослідник багатогранників

Формула многогранника Ейлера V - E + F = 2 — один із найдавніших і найкрасивіших результатів математики. Вона виконується для будь-якого опуклого багатогранника: відніміть ребра від вершин, додайте грані — і завжди отримаєте 2. П'ять Платонових тіл — тетраедр, куб, октаедр, додекаедр, ікосаедр — є єдиними опуклими багатогранниками, усі грані яких — конгруентні правильні многокутники. 13 Архімедових тіл послаблюють цю умову, дозволяючи кілька типів граней, зберігаючи при цьому вершинну транзитивність.

Дослідник багатогранників дозволяє обертати та вивчати всі 18 цих тіл у 3D, перемикаючись між каркасним виглядом, суцільними гранями та виглядом із підписаними вершинами. Панель статистики підтверджує формулу Ейлера для кожного тіла в реальному часі, поки ви перемикаєтеся між ними. Виділено відношення зрізання: кубооктаедр — це зрізаний куб, ікосододекаедр — це зрізаний додекаедр, а ромбокубооктаедр перебуває посередині між кубом та октаедром в ієрархії груп симетрії. Ці відношення легше побачити в інтерактивному 3D-вигляді, ніж на будь-якій статичній діаграмі.

Спробуйте самі

Три симуляції, з яких варто почати, якщо ви нові в цій хвилі:

Повний каталог Хвилі 108 можна переглянути через індекс категорій. Усі десять симуляцій також доступні українською через мовний префікс /uk/.

Що далі

Хвиля 108 завершує спринт, зосереджений на класичних математичних моделях, що перебувають у просторі між чистою математикою та прикладною наукою — моделях із точними аналітичними розв'язками, які симуляція скоріше висвітлює, ніж замінює. Спостереження за тим, як параболічний профіль Пуазейля перетворюється на турбулентний логарифмічний закон, коли ви перетягуєте повзунок числа Рейнольдса, передає дещо, чого самі рівняння не передають: різкість переходу, те, як плаский верх турбулентного профілю все ще вигинається біля стінки, візуальну різницю між ламінарним порядком і турбулентним хаосом.

Хвиля 109 перебуває на етапі планування. Поточні цілі включають стохастичний резонанс, критичні показники моделі Ізінга, тріангуляцію Делоне з інтерактивним вставленням точок та повернення до системи Лоренца з обчисленням показника Ляпунова. Якщо у вас є симуляція, яку ви хотіли б побачити реалізованою, або модель, яка, на вашу думку, недостатньо представлена в браузерній науковій освіті, сторінка контактів завжди відкрита.