Хвиля 105 — 30 нових симуляцій з фізики, квантової фізики, матеріалознавства та мистецтва

Є особливе задоволення в спостереженні за тим, як осипаються піщинки. Впустіть одну піщинку на купу піску Абеля — і здебільшого нічого драматичного не станеться. Але іноді ця одна піщинка запускає лавину, яка поширюється на всю сітку — каскад, розподіл розмірів якого підпорядковується степеневому закону без характерного масштабу. Це самоорганізована критичність (SOC): система, яка сама налаштовується на межу хаосу без будь-якого зовнішнього тонкого налаштування. Її запропонували Пер Бак, Чао Тан і Курт Візенфельд у 1987 році, і вона залишається однією з найтихіше радикальних ідей статистичної фізики. Хвиля 105 приносить SOC у ваш браузер — разом із 29 іншими симуляціями, які так само малоймовірно зустріти в стандартному університетському курсі.

Фізика на межі порядку: SOC, спінове скло та переходи Джозефсона

Купа піску Абеля та самоорганізована критичність

Модель купи піску Абеля існує на 2D цілочисельній сітці. Кожна клітинка містить певну кількість піщинок. Коли клітинка перевищує поріг — зазвичай 3 для квадратної решітки — вона осипається, розподіляючи по одній піщинці кожному з чотирьох сусідів:

if grid[x][y] >= 4:
    grid[x][y]   -= 4
    grid[x+1][y] += 1
    grid[x-1][y] += 1
    grid[x][y+1] += 1
    grid[x][y-1] += 1

Модель називають абелевою, тому що кінцевий стійкий стан не залежить від порядку, в якому застосовуються осипання — неочевидний алгебраїчний факт, який надає системі багату групову структуру. Емерджентні фрактальні патерни, що виникають при скиданні мільйонів піщинок на одну центральну клітинку, вражають: вкладені трикутники, ромбоподібні кільця та дрібнозернисті інтерференційні смуги, що виглядають майже кристалічно, попри те, що виникають із суто локальних правил. Наша симуляція дозволяє інтерактивно засівати купу й спостерігати за накопиченням статистики лавин у реальному часі.

Спінове скло: фрустрація та безлад

Спінове скло — це магнітний матеріал, у якому конкуруючі феромагнітні й антиферомагнітні взаємодії створюють фрустрацію — жодна конфігурація спінів не може одночасно задовольнити кожен зв'язок. Модель Едвардса-Андерсона відображає це на 2D сітці, призначаючи кожному зв'язку Jij випадковий знак, обраний із ±1. Енергія конфігурації:

E = -∑_⟨ij⟩ J_ij · s_i · s_j

де сума береться за парами найближчих сусідів. Мінімізація цієї енергії за низької температури відома своєю складністю — задача є NP-повною в трьох вимірах. Симуляція використовує метод Монте-Карло Метрополіса-Гастінгса з повільним графіком відпалу, щоб ви могли спостерігати, як система застигає в одному з багатьох метастабільних станів. Спінові скла — концептуальний предок мереж Хопфілда та сучасних енергетичних ландшафтів машинного навчання, тож це не просто академічна цікавинка.

Перехід Джозефсона: модель RSJ

Коли два надпровідники розділені тонким ізоляційним бар'єром, куперівські пари тунелюють квантово-механічно — це ефект Джозефсона. Резистивно-шунтована модель переходу (RSJ) розглядає перехід як конденсатор, резистор і нелінійну індуктивність, з'єднані паралельно. Динаміка калібрувально-інваріантної різниці фаз φ на переході підпорядковується рівнянню:

C · d²φ/dt² + (1/R) · dφ/dt + I_c · sin(φ) = I_bias

Це рівняння формально ідентичне рівнянню керованого затухаючого маятника — факт, що робить його ідеальним педагогічним містком між класичною механікою та квантовим транспортом. Вище критичного струму I_c перехід перемикається зі стану нульової напруги в осцилюючий стан, випромінюючи мікрохвильове випромінювання на частоті f = 2eV/h — основа вольт-стандарту Джозефсона, найточнішої реалізації вольта в метрології. Симуляція одночасно будує криву I-V і портрет фазового простору.

Квантова матерія та фізика ультранизьких температур

Конденсат Бозе-Ейнштейна: рівняння Гросса-Пітаєвського

Коли розріджений газ бозонів охолоджується до наношкали кельвінів вище абсолютного нуля, макроскопічна частка атомів колапсує в один і той самий квантовий основний стан. Колективну поведінку цього конденсату описує єдина комплексна хвильова функція ψ(r, t), що підпорядковується рівнянню Гросса-Пітаєвського (GPE):

iℏ ∂ψ/∂t = [-ℏ²/(2m) ∇² + V(r) + g|ψ|²] ψ

Нелінійний член g|ψ|² кодує контактні взаємодії середнього поля між атомами. GPE підтримує квантовані вихори — топологічні дефекти, де фаза ψ закручується на 2π — які є ознакою надплинності. Наша 2D-симуляція розв'язує GPE методом розщепленого оператора з покроковим інтегруванням у часі на однорідній сітці, дозволяючи спостерігати зародження вихорів, поширення солітонів та інтерференційні смуги, що виникають, коли два конденсати перекриваються. Це та сама фізика, за яку Корнелл, Кеттерле й Віман отримали Нобелівську премію 2001 року — і вона працює у вкладці вашого браузера.

Усі ймовірності хвильової функції відображаються у перцептивно рівномірних кольорових картах, де фаза закодована відтінком, а густина — яскравістю, що дає миттєве візуальне прочитання квантового стану без жодних попередніх знань про комплексні числа.

Геометрія, фрактали та психоакустика

Мозаїка Пенроуза методом інфляції

Мозаїки Пенроуза вкривають площину з п'ятикратною обертальною симетрією — патерн, категорично заборонений класичною теоремою кристалографічного обмеження. Їх відкрив Роджер Пенроуз у 1974 році, і вони передбачили експериментальне відкриття квазикристалів Деном Шехтманом через десятиліття (Нобелівська премія з хімії 2011 року). Алгоритм інфляції генерує мозаїку рекурсивно: почніть із невеликої ділянки з плиток "змій" і "стріл", а потім повторно поділяйте кожну плитку за фіксованими правилами заміщення, масштабуючи решітку на кожному кроці на золотий перетин φ = (1+√5)/2.

Симуляція виконує алгоритм інфляції прямо в браузері й дозволяє вам наближати самоподібну структуру. Оскільки мозаїка неперіодична, ви ніколи не знайдете трансляційно повторювану одиницю — але вона не випадкова. Вона має далекодіючий орієнтаційний порядок, помітний у її дифракційній картині, яка показує гострі піки Брегга, розташовані з ікосаедричною симетрією.

Гасок Аполлонія: рекурсивне пакування кіл

Маючи три взаємно дотичні кола, Аполлоній Пергський показав ще у 200 році до н.е., що існує рівно два кола, дотичні до всіх трьох. Якщо повторно застосовувати цю побудову до кожної нової трійки дотичних кіл, отримаємо гасок Аполлонія — фрактал із розмірністю Гаусдорфа приблизно 1,3057. Кривизни всіх кіл у будь-якому цілочисельному пакуванні Аполлонія задовольняють теорему кіл Декарта:

(k₁ + k₂ + k₃ + k₄)² = 2(k₁² + k₂² + k₃² + k₄²)

де k = 1/r — кривизна (обернена до радіуса). Якщо чотири початкові кривизни цілі, кожне коло в гаску має цілу кривизну — теоретико-числове диво, що пов'язує класичну геометрію з теорією квадратичних форм та аполлонієвою групою в арифметиці. Симуляція рендерить тисячі кіл в одному кадрі, використовуючи рекурсивний спуск із раннім відсіченням кіл, менших за розмір пікселя.

Тон Шепарда: нескінченні сходи звуку

Тон Шепарда — це слухова ілюзія: звук, що ніби нескінченно підвищується (або знижується) у висоті, але насправді ніколи не стає вищим чи нижчим. Він побудований накладенням синусоїдальних хвиль з інтервалом в октаву, з дзвоноподібною амплітудною огинаючою в логарифмічному просторі частот. Коли кожен компонент з'являється знизу спектра й зникає зверху, сприйнята висота нескінченно спіралеподібно зростає — акустичний еквівалент сходів Ешера.

Симуляція візуалізує спектральну огинаючу та миттєву фазу кожної парціальної складової в реальному часі, використовуючи Web Audio API та відображення типу "водоспад" на Canvas 2D. Ви можете регулювати швидкість підйому, ширину смуги огинаючої та кількість парціальних складових, роблячи механізм ілюзії прозорим. Тони Шепарда з'являються в кіномузиці — зокрема у фільмах Крістофера Нолана "Дюнкерк" і "Темний лицар: Відродження легенди" — щоб створити підсвідоме відчуття невблаганної ескалації.

Спробуйте самі

Найкращий спосіб побудувати інтуїцію щодо цих моделей — зламати їх. Спробуйте збільшити зміщувальний струм понад критичну точку в переході Джозефсона й подивіться, як крива I-V різко переходить від нульової напруги до скінченної. Засійте купу піску несиметрично й перевірте, чи залишається фрактальна межа симетричною. Помішайте конденсат рухомим потенціалом-перешкодою й порахуйте квантовані вихори, що зароджуються. Ось три симуляції, з яких варто почати:

Повний каталог хвилі 105 — усі 30 симуляцій — можна переглянути через індекс категорій. Кожна сторінка симуляції містить математичний огляд, елементи керування параметрами з позначеними одиницями та посилання на первинну літературу, якщо вікна браузера недостатньо.

Що далі

Хвиля 105 завершує поточний спринт. Моделі цієї хвилі перебувають на перетині фізики конденсованого стану, теорії чисел і науки про сприйняття — областей, які рідко поділяють один навчальний план, але мають більше спільної математики, ніж зазвичай визнають їхні практики. Рівняння переходу Джозефсона і маятник — це одне й те саме диференціальне рівняння. Гасок Аполлонія й теорія автоморфних форм — у точному сенсі одна й та сама структура. Група купи піску й абстрактна алгебра — ближчі родичі, ніж очікував би той, хто вивчав кожну з них окремим курсом.

Хвиля 106 уже в плануванні. Цільові теми — системи реакції-дифузії на неевклідових поверхнях, епідеміологічні метапопуляційні моделі з реальними даними про мобільність та повторний розгляд подвійного маятника з тепловими картами показника Ляпунова. Якщо у вас є симуляція, яку ви хотіли б побачити — або модель, яку, на вашу думку, недостатньо представлено в браузерній науковій освіті — сторінка контактів завжди відкрита. Мета — не відтворити те, що можна знайти в підручнику. Мета — змусити реально працювати те, що підручники залишають як вправи, прямо перед вами, прямо зараз.