🌀 Przepływ Lattice-Boltzmann

To technika obliczeniowej dynamiki płynów, która śledzi funkcje rozkładu cząstek na regularnej siatce zamiast rozwiązywać wprost równania Naviera-Stokesa. Cząstki przemieszczają się do sąsiednich komórek, a następnie zderzają się, relaksując do lokalnej równowagi. Uśrednienie rozkładów odtwarza znane wielkości płynu, takie jak gęstość i prędkość.

D2Q9 opisuje geometrię siatki: dwa wymiary (D2) z dziewięcioma dyskretnymi kierunkami prędkości (Q9). Są to stan spoczynku, cztery ruchy wzdłuż osi i cztery ruchy po przekątnej, każdy z wagą 4/9, 1/9 lub 1/36. Ten dziewięcioprędkościowy zestaw to standardowy wybór dla dokładnych dwuwymiarowych symulacji LBM.

W kroku przemieszczania każda funkcja rozkładu porusza się o jedną komórkę wzdłuż swojego kierunku prędkości. W kroku zderzenia populacje w każdej komórce relaksują do wartości równowagowych za pomocą operatora BGK. Ta symulacja wykonuje dziesięć takich podkroków na klatkę animacji, dzięki czemu przepływ rozwija się płynnie w czasie rzeczywistym.

Lepkość ustawia czas relaksacji poprzez tau = 3 nu + 0,5, co decyduje o tym, jak szybko rozkłady wracają do równowagi. Suwak obejmuje zakres w przybliżeniu od 0,002 do 0,080 w jednostkach siatki. Obniżenie lepkości podnosi liczbę Reynoldsa i daje przepływ bardziej turbulentny i bogaty w wiry; podniesienie jej wygładza ruch w kierunku laminarnego.

Liczba Reynoldsa to stosunek sił bezwładności do sił lepkości i przewiduje, czy przepływ jest laminarny, czy turbulentny. Tutaj obliczana jest jako Re = prędkość na wlocie razy charakterystyczna długość podzielone przez lepkość. Powyżej około 47 walec zaczyna odrywać wiry, a wyższe wartości dają w pełni rozwiniętą ścieżkę wirową Kármána.

Komórki zaznaczone pędzlem stają się stałymi barierami oznaczonymi w siatce. Wykorzystują warunek odbicia (bounce-back): każdy rozkład docierający do komórki stałej jest odbijany w kierunku przeciwnym. Wymusza to ściankę bez poślizgu, więc płyn nie może przez nią przeniknąć i opływa narysowany kształt.

Wielkość prędkości koloruje każdą komórkę według prędkości przepływu za pomocą mapy podobnej do viridis. Wirowość pokazuje rotację pola prędkości na rozbieżnej skali niebiesko-biało-czerwonej, uwypuklając rotację zgodną i przeciwną do ruchu wskazówek zegara. Gęstość mapuje lokalną gęstość płynu wokół wartości bazowej równej jeden, ujawniając fale sprężania i rozrzedzenia.

Odtwarza poprawną jakościowo fizykę przepływu nieściśliwego, w tym odrywanie wirów, częstotliwość Strouhala śladu i zależność od liczby Reynoldsa. Jest to jednak model edukacyjny czasu rzeczywistego w jednostkach siatki z pojedynczym czasem relaksacji i skromną siatką, więc nie zastępuje zwalidowanych solwerów badawczych o wysokiej rozdzielczości.

Za tępym ciałem przepływ staje się niestabilny powyżej krytycznej liczby Reynoldsa, a małe zaburzenia narastają w naprzemienne wiry odrywane z każdej strony. LBM odtwarza to naturalnie, ponieważ dyskretna dynamika już zawiera niezbędną nieliniowość. Nie jest potrzebne żadne specjalne wymuszanie; wzór pojawia się samoistnie, gdy tylko lepkość jest wystarczająco niska.

LBM jest szeroko stosowana w inżynierii do aerodynamiki, przepływów motoryzacyjnych i lotniczych, przepływu krwi w tętnicach, przepływu przez porowate skały i glebę oraz w urządzeniach mikroprzepływowych. Jej lokalność sprawia, że doskonale nadaje się do obliczeń równoległych i na GPU, a komercyjne solwery wykorzystują ją dla złożonych geometrii trudnych dla tradycyjnych metod siatkowych.