Spotlight kategorii #8 — Chemia i nauka o materiałach: 8…

symulacji

podtematów

PDE

matematyka bazowa

EN + UK

języki

Wzrost kryształów i fizyka ciała stałego

Krystalizacja to klasyczny przykład tworzenia wzoru z lokalnych reguł. Każdy atom dodany do rosnącej sieci jest przyciągany wiązaniami swoich sąsiadów — lokalna interakcja, która daje globalnie uporządkowaną strukturę. Symulacja wykorzystuje algorytm Monte Carlo Metropolisa: atom jest umieszczany w miejscu próbnym i akceptowany z prawdopodobieństwem proporcjonalnym do e^−ΔE/kT.

Wzrost kryształów

Wybierz układ krystaliczny (regularny, heksagonalny, BCC, FCC) i obserwuj zarodkowanie i wzrost atomów na zewnątrz. Zmieniaj temperaturę, by przełączać między uporządkowanym kryształem a amorficznym szkłem.

Monte Carlo · Metropolis

Figury Chladniego

Wzory piasku na wibrującej metalowej płycie — linie węzłowe modów fali stojącej. Odpowiadają dokładnym rozwiązaniom równania falowego 2D: f(x,y)∝sin(mπx/L)·sin(nπy/L).

Równanie falowe 2D · FDM

Kryterium akceptacji Metropolisa (wzrost kryształów)

P(akceptacja) = min(1, e^{−ΔE / k_BT})
ΔE = różnica energii · k_B = 1,38 × 10⁻²³ J/K

Reakcja-dyfuzja i tworzenie wzorów

Praca Alana Turinga z 1952 roku przewidziała, że dwie dyfundujące substancje chemiczne — aktywator i inhibitor — mogą spontanicznie tworzyć stabilne wzory przestrzenne, takie jak plamki i paski. Model Graya-Scotta jest najbardziej znaną implementacją:

Reakcja-dyfuzja (Gray-Scott)

Dwa stężenia chemikaliów UV ewoluują poprzez sprzężone równania różniczkowe cząstkowe. Zmiana parametrów tempa podawania i eliminacji daje koralowce, plamki, labirynty, ruchome plamki i cząstki podobne do solitonów.

Gray-Scott PDE · shader fragmentowy GPU

Dyfuzja leku (farmakokinetyka)

Bolus dawki leku dyfunduje z krwi do tkanki. Drugie prawo Ficka napędza profil stężenia. Zobacz, jak okres półtrwania i powinowactwo wiązania kształtują okno terapeutyczne.

II prawo Ficka · FDM

Równania reakcji-dyfuzji Graya-Scotta

∂u/∂t = D_u∇²u − uv² + f(1 − u)
∂v/∂t = D_v∇²v + uv² − (f + k)v

f = tempo podawania · k = tempo eliminacji · D_u, D_v = współczynniki dyfuzji

Chemia jądrowa i atomowa

Energia wiązania jądrowego — energia utrzymująca jądro w całości — to jedna z niewielu wielkości w fizyce, która osiąga nieliniowe maksimum, co wyjaśnia, dlaczego zarówno rozszczepienie, jak i fuzja mogą uwalniać energię, zależnie od miejsca na krzywej energii wiązania.

Energia wiązania jądrowego

Interaktywna krzywa energii wiązania na nukleon dla wszystkich stabilnych izotopów. Kliknij dowolny pierwiastek; symulacja pokazuje rozbicie półempirycznego wzoru masowego (Bethego-Weizsäckera) na człony objętościowy, powierzchniowy, kulombowski i parowania.

Wzór Bethego-Weizsäckera

Spektroskopia atomowa

Seria widmowa wodoru (Lymana, Balmera, Paschena) wyrenderowana jako linie emisyjne. Zmieniaj przejście elektronowe; symulacja oblicza λ = R_H⁻¹(1/n₁² − 1/n₂²)⁻¹.

Wzór Rydberga · energia fotonu

Chemia płynów i powierzchni

Bańki i piany to problemy minimalizacji: napięcie powierzchniowe dąży do zminimalizowania całkowitej powierzchni dla danej objętości, dając kształty kuliste (równanie Younga-Laplace'a) oraz prawa Plateau dla złączy pianowych.

Bańki i napięcie powierzchniowe

Bańki mydlane łączą się i reorganizują pod wpływem równania ciśnienia Younga-Laplace'a ΔP = 4γ/r. Geometria piany podlega prawom Plateau — kąty spotykają się pod 120° w każdym złączu.

Young-Laplace · SPH

Cykl węglowy

Zbiorniki węgla (atmosfera, ocean, biosfera, litosfera) wymieniają się poprzez równania strumienia pierwszego rzędu. Zaburz emisje paliw kopalnych i obserwuj przesunięcie równowagi na przestrzeni dekad.

Model skrzynkowy ODE

Podstawowe algorytmy w symulacjach chemicznych

Gray-Scott PDE Monte Carlo Metropolis II prawo Ficka (FDM) Wzór Bethego-Weizsäckera Równanie Younga-Laplace'a Wzór spektralny Rydberga Równanie falowe 2D (FDM) Sprzężone równania ODE modelu skrzynkowego Shader fragmentowy GPU (tekstura ping-pong)

Polecane ścieżki nauki

Chemia licealna

Energia wiązania jądrowego — rozszczepienie, fuzja, defekt masy
Spektroskopia atomowa — model Bohra, linie emisyjne
Cykl węglowy — strumienie zbiorników, wpływ na klimat

Poziom uniwersytecki / badawczy

Reakcja-dyfuzja Graya-Scotta — wzory Turinga, przestrzeń parametrów
Wzrost kryształów — Monte Carlo, przejścia fazowe
Dyfuzja leku — prawa Ficka, modelowanie PK/PD
Napięcie powierzchniowe — Young-Laplace, geometria piany

Czy wiesz, że? Symulacja reakcji-dyfuzji Graya-Scotta działa w całości na GPU dzięki technice tekstury ping-pong — każda klatka shader zapisuje kolejny stan chemiczny do pozaekranowego celu renderowania, a następnie odczytuje z niego do wyświetlenia. To ten sam wzorzec używany w solverach płynów i automatach komórkowych.