Symulator maszyny Atwooda: dwie masy, m1 i m2, wiszą na nieważkiej nierozciągliwej linie przełożonej przez bloczek o promieniu R z regulowanym momentem bezwładności I_p. Wypadkowe przyspieszenie wynosi a = (m1 − m2)g / (m1 + m2 + I_p/R²), a naciąg liny po każdej stronie, T1 = m1(g − a) i T2 = m2(g + a), jest równy tylko wtedy, gdy bloczek jest idealny (I_p = 0). Zmieniaj obie masy oraz moment bezwładności bloczka, aby na żywo obserwować zmiany przyspieszenia, asymetrii naciągu i obrotu bloczka, a następnie zresetuj symulację, by ponownie opuścić masy od góry ich zakresu ruchu.
Maszyna Atwooda — dwie masy połączone liną przełożoną przez bloczek — została wynaleziona w 1784 roku przez wielebnego George'a Atwooda, angielskiego matematyka, jako sposób na spowolnienie i bezpośrednie zweryfikowanie swobodnego spadku zgodnie z drugą zasadą dynamiki Newtona. Ponieważ wypadkowa siła napędowa to jedynie niewielka różnica między dwoma zawieszonymi ciężarami, m1 − m2, podczas gdy przyspieszaną bezwładnością jest ich suma, m1 + m2, wynikowe przyspieszenie a = (m1 − m2)g / (m1 + m2) można uczynić znacznie mniejszym niż g. Umożliwiło to, przy użyciu prymitywnych zegarów i linijek osiemnastego wieku, wystarczająco dokładny pomiar czasu ruchu, aby potwierdzić, że przyspieszenie jest stałe i proporcjonalne do siły, a nawet uzyskać użyteczne oszacowanie wartości g.
Ten symulator rozszerza klasyczny układ o bloczek, który może posiadać własny moment bezwładności, I_p. Idealny, nieważki bloczek jedynie zmienia kierunek liny, więc naciąg jest taki sam po obu stronach: T1 = T2 = 2m1m2g/(m1+m2). Rzeczywisty bloczek ma masę i musi zostać przyspieszony kątowo przez wypadkowy moment obrotowy pochodzący od dwóch naciągów liny, co wymaga, aby T1 ≠ T2, gdy bloczek stawia opór rozpędzeniu. Pełny wynik, a = (m1 − m2)g / (m1 + m2 + I_p/R²), pokazuje, że dodatkowy człon bezwładności I_p/R² działa dokładnie jak dodatkowa masa w mianowniku — spowalnia układ, nie zmieniając, która strona opada. Ponieważ izoluje ona czytelną, regulowaną zależność między siłą, masą a bezwładnością obrotową, maszyna Atwooda pozostaje podstawowym elementem wprowadzających laboratoriów z mechaniki, służącym do pomiaru g i demonstrowania drugiej zasady dynamiki Newtona przy kontrolowanym, niskim przyspieszeniu.
Do czego służy maszyna Atwooda?
Jest to klasyczne urządzenie dydaktyczne i pomiarowe: dwie masy zawieszone są na linie przełożonej przez bloczek, a niewielka różnica między nimi wytwarza powolne, łatwe do zmierzenia przyspieszenie. Laboratoria fizyczne wykorzystują je do weryfikacji drugiej zasady dynamiki Newtona, do pomiaru lokalnego przyspieszenia ziemskiego g oraz do pokazania, jak naciąg i przyspieszenie zależą od masy, a gdy sam bloczek ma masę — także od bezwładności obrotowej.
Dlaczego naciąg po obu stronach jest równy tylko w przypadku idealnego bloczka?
Idealny bloczek traktowany jest jako nieważki i bezcierny, więc sam nie wywołuje żadnego wypadkowego momentu obrotowego — jedynie zmienia kierunek liny, a ten sam naciąg przechodzi przez niego bez zmian, co daje T1 = T2. Rzeczywisty bloczek ma masę i moment bezwładności I_p, a wypadkowy moment obrotowy pochodzący od dwóch różnych naciągów to właśnie to, co go rozpędza. Wymaga to, aby T1 i T2 się różniły za każdym razem, gdy bloczek przyspiesza obrotowo, co dokładnie można zaobserwować w tym symulatorze, zwiększając I_p powyżej zera.
Co się dzieje, gdy m1 równa się m2?
Licznik wzoru na przyspieszenie, m1 − m2, staje się zerem, więc a = 0 niezależnie od momentu bezwładności bloczka. Oba naciągi stają się równe m·g (ciężarowi każdej z mas), układ znajduje się w równowadze statycznej i żadna z mas się nie porusza — lina spoczywa zrównoważona na bloczku, tak jak symetryczna huśtawka pozostałaby w poziomie.
Moment bezwładności wchodzi do wzoru na przyspieszenie jako dodatkowy człon, I_p/R², dodany do łącznej masy m1 + m2 w mianowniku: a = (m1 − m2)g / (m1 + m2 + I_p/R²). Większe I_p (przy stałym promieniu R) zwiększa mianownik i zmniejsza przyspieszenie, ponieważ część energii grawitacyjnej, która w innym przypadku przyspieszałaby masy, jest zamiast tego zużywana na rozpędzenie bloczka. Rozdziela to również naciąg: T1 = m1(g − a) i T2 = m2(g + a) przestają być równe, gdy tylko a zostanie zmniejszone przez dodatkowy człon bezwładności.
Model zakłada nieważką, doskonale nierozciągliwą linę, która nigdy nie ślizga się po bloczku, bezcierną oś oraz brak oporu powietrza. Zakłada również, że lina pozostaje napięta, a masy poruszają się wyłącznie pionowo. Rzeczywiste eksperymenty muszą uwzględniać rozciąganie liny, tarcie w łożyskach, opór powietrza dla większych mas oraz skończoną masę liny — wszystko to ten wyidealizowany model pomija, aby wyodrębnić podstawową zależność wynikającą z drugiej zasady dynamiki Newtona.
Ponieważ przyspieszenie a = (m1 − m2)g / (m1 + m2 + I_p/R²) jest zwykle znacznie mniejsze niż przyspieszenie swobodnego spadku g, można je dokładnie zmierzyć za pomocą prostych stoperów lub bramek fotoelektrycznych na zmierzonym odcinku spadku. Przekształcając wzór względem g i podstawiając zmierzone a, znane masy oraz — jeśli nie są pomijalne — moment bezwładności i promień bloczka, otrzymuje się eksperymentalną wartość g, której nie dałoby się bezpośrednio zmierzyć przy pomocy podstawowego sprzętu dla samego swobodnie spadającego ciała, poruszającego się zbyt szybko.
Wielebny George Atwood opisał to urządzenie w 1784 roku w pracy przedstawionej Towarzystwu Królewskiemu, konkretnie po to, by zapewnić kontrolowany, powtarzalny sposób testowania i demonstrowania praw ruchu jednostajnie przyspieszonego, opisanych przez Newtona niemal sto lat wcześniej. Zamieniając duże, trudne do zmierzenia przyspieszenie swobodnego spadku na małe, regulowane przyspieszenie, Atwood zamienił abstrakcyjne prawo w praktyczną demonstrację szkolną — rolę, którą maszyna pełni do dziś.
T1 to naciąg w odcinku liny przymocowanym do m1, a T2 to naciąg w odcinku przymocowanym do m2. Dla idealnego, nieważkiego bloczka muszą one być równe, ponieważ bloczek przekazuje naciąg bez zmian. Dla bloczka o rzeczywistej bezwładności obrotowej oba odcinki liny działają na obwód bloczka różnymi siłami, tak że wypadkowy moment obrotowy, (T1 − T2)·R, dostarcza przyspieszenia kątowego potrzebnego do rozpędzenia bloczka, dlatego właśnie T1 i T2 rozbiegają się w miarę wzrostu I_p.
Każdy blok jest rysowany jako większy w miarę wzrostu wartości suwaka masy, wyłącznie jako wskazówka wizualna — symulacja skaluje rozmiar bloku wraz z wartością masy, dzięki czemu widać na pierwszy rzut oka, która strona jest cięższa, bez konieczności odczytywania wartości liczbowej. Sama fizyka wykorzystuje dokładne wartości z suwaków we wzorach na przyspieszenie i naciąg; rozmiar bloku ma charakter wyłącznie kosmetyczny i nie wpływa na obliczenia.