Rzuciny wody: Równanie falowe, interferencja i dlaczego fale morza wyglądają inaczej

Basen to równanie falowe 2D

Wyrzucić kamień do spokojnej wody i zaburzenie rozchodzi się jako prawie krąg. Wysokość powierzchni h(x, y, t) podporządkowuje się równaniu falowemu 2D, tak jak to, które rządzi dźwiękiem na płyty lub drgań na skrzypcach:

∂²h/∂t² = c² ( ∂²h/∂x² + ∂²h/∂y² ) − k·∂h/∂t c to prędkość fali, a ostatni wyraz jest współczynnikiem tłumienia k, który zasysa energię z systemu, więc falki zanikają zamiast brzmieć w nieskończoność. Lived simulation dyskretyzuje to na siatce i przesuwa to do przodu przy użyciu prostego schematu explikowego: każda komórka otrzymuje swoją następną wysokość obliczając z jej aktualnej i poprzedniej wysokości oraz średniego wartości czterech sąsiadów, co dokładnie jest podstawowym zastępczym rozwiązywaniem Laplasa ∂²h/∂x² + ∂²h/∂y².

∂²h/∂t² = c² ( ∂²h/∂x² + ∂²h/∂y² ) − k·∂h/∂t

Kolircularne falowe powierzchnie pochodzące z źródła punktowego

Zagmatwanie wprowadzone w pojedynczym komórkowym polu rozchodzi się wzdłuż, ponieważ równanie jest izotropowe — dyskretny Laplasjan traktuje wszystkie kierunki równe na dostatecznie gęstym polu — więc powierzchnia fali jest rosnącym pęczkiem o promieniu c·t. To bezpośrednia 2D analogia zasady Huygensa: każdy punkt, który osiągnął falową powierzchnię, staje się nowym źródłem podsektywnych fal, a ich otoczenie ponownie jest kołem rozszerzającym się o prędkość c. Na gęstościowym polu kwadratowym izotropia ta jest tylko przybliżona — fale wzdłuż przekątnych podróżują nieco szybciej niż fale po osiach, chyba że wybrana jest ostrożnie zbudowana szkieletka, co jest powodem, dla którego produkcji shaderów rysujących falę uzywa się średnicy w kształcie plusa zamiast gęstościowego filtra prostokątnego.

Interferencja: dodawanie wysokości, nie intencji

Wyrzucimy dwa kamienie i otrzymany wzór nie będzie sumą dwóch niezależnych pętli — jest to ich superpozycja, ponieważ równanie falowe jest liniowe: całkowita odstępstwo w dowolnej punkcie jest prosto suma dwóch osobnych rozwiązań falowych. Gdzie dwie szczyty się pokrywają, powierzchnia podnosi się wyższa (konstruktywna interferencja); gdzie szczyt spotyka dół, to odwrotność (destruktorna interferencja). Klasyczny rezultat to statyczna wzorniczka z alternującymi jasnymi i ciemnymi pasami rozprzestrzeniającymi się z punktu między dwoma źródłami — widocznie identyczna z wzorem interferencyjnym dwóch szczelink w optyce, ponieważ oba są zarządzane tym samym liniowym matematycznym opisem falowym.

h_total(x, y, t) = h₁(x, y, t) + h₂(x, y, t)   // linear superposition, not h₁ · h₂

Rozpraszanie: dlaczego falki i szum morza wyglądają inaczej

Fale rzeczywistej wody są rozproszane — różne długości fali poruszają się z różnymi prędkościami, nie tak jak dźwięk w powietrzu. Długowavelowe fale grawitacyjne w głębokim wodzie mają prędkość fazową v = √(gλ / 2π), więc dłuższe fale przewyższają krótsze (z tego powodu szum morza z odległych burzy dotarł jako długie, lśniące falowate rollerzy nawet po tym, jak krótkie, agitowane fale blisko burzy zniknęły). Dla bardzo krótkich długości fali dominuje siła powierzchniowa nad grawitacją i fizyka przekształca się na fale kapilaryzacyjne, z prędkością fazową v = √(2πσ / ρλ), gdzie σ to siła powierzchniowa — teraz krótsze fale poruszają się szybciej. Wokół długości fali około 1,7 cm dla wody te dwa efekty równowagują; ta przełącza się jest dokładnie tym ciepłym, ostro zarysowanym wzorem rurek widocznym bezpośrednio przy krawędzi szarpnięcia, odmiennym od szerokich, wykrzywionych pęcherzyków dalej. Podstawowa równanie fal o stałej prędkości, jak to powyżej, ignoruje ten rozproszeniowy efekt dla uproszczenia — pełnowartościowe symulacje rozproszane muszą mieć prędkość fali zależną od lokalnej częstotliwości przestrzennej.

Refleksja na granicy

Gdy falka dociera do krawędzi basenu, odbija się. Bezpieczna granica (otwarta krawędź) odbija falę w fazie, więc szczyt odbija się jako szczyt; zawsze ustalona granica (twarda ścianka lub w dyskretnym siatce, komórka zmuszona do wysokości zero) odbija się ze zmianą znaku, więc szczyt powraca jako dolina. Jaka z tych granic wykorzystuje symulacja zmienia to, czy odbite falki potwierdzają lub anulują nadal dotykające — widoczny i fizycznie znaczący szczegół, a nie wybór renderowania.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Water Ripples i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.