Napięta linia: stojące welle, harmoniki i timbre

Równanie falowe jednowymiarowe

Przesunięcie pionowe y(x,t) napiętej idealnej linii spełnia równanie falowe jednowymiarowe, a prędkość fali jest całkowicie wyznaczona przez własności fizyczne tej samej linii — jej napięcie T i masa na długość μ:

∂²y/∂t² = c² * ∂²y/∂x²
c = sqrt(T / μ)

Zamknięte końce tworzą dyskretny zestaw nut

Przecina się rzeczywista nici w obu końcach, y(0,t) = y(L,t) = 0, a ta warunek brzegowy jest całą powodem, dla którego nicię tworzy nuty muzyczne zamiast niezliczonego kontynuum tonów: tylko długości fali pasujące do exact liczby połowy fal między dwiema zamkniętymi końcami mogą istnieć jako stały wzór wibracji stojących, więc dopuszczalne częstotliwości tworzą dyskretną szereg harmoniczny:

λ_n = 2L / n              (n = 1, 2, 3, ...)
f_n = n * c / (2L) = n * f_1     (f_1 = the fundamental)

Nody, antynody i wszystko co się dzieje naraz

n-ty harmoniczny ma n antynody (punktów maksymalnej ruchomej liczby) oraz n+1 nody (punktów nieruchomej liczby, w tym dwa ustalone końce). Naciągnięta łańcuchanina nie drży tylko w jednym z tych trybów — ogólna ruchowa liczba dowolnego rzeczywistego naciśnięcia jest sumowaniem podstawowego i każdego harmonicznego powyżej go, dokładnie tak jak gwarantuje twierdzenie Fouriera dla dowolnej okresowej formy, z siłą względową każdego harmonicznego zależną całkowicie od kształtu początkowego naciśnięcia.

Dlaczego napięcie i grubość zmieniają ton

Jest c = √(T/μ) i f_1 = c / (2L), więc podstawowa częstotliwość wzrasta wprost proporcjonalnie do pierwiastka z napięcia, a maleje wprost proporcjonalnie do pierwiastka z gęstości linearycznej — co dokładnie jest fizycznym podstawem regulacji gitary (obroty guzika regulacji zmieniają T) oraz powoduje, że nizsza nuta brzmienie drutu basowego jest niższa od nuty treblego o tej samej długości i napięciu (grubszy, ciężko obwinięty drut ma większą μ, więc musi mieć niższą częstotliwość, aby spełnić tę samą zależność przenośności dźwięku).

Spektrum przysadków prawdziwej naciągniętej linii

Rozkład kształtu naciągniętej trójkątnie (przesuniętej o punkt x₀ i zwolnionej) na jego szereg Fouriera sinusoidalny pokazuje, że amplituda n-tego przysadku skali się w przybliżeniu jak (1/n²) · sin(nπx₀/L):

A_n ∝ (1 / n²) * sin(n * π * x₀ / L) Naciąganie blisko jednego końca (x₀ bliskie 0 lub L) przekształca energię w wyższe przysadki, ponieważ sin(nπx₀/L) pozostaje duży dla większej liczby wartości n, co daje ton bardziej jasny i twangujący. Naciąganie dokładnie na połowie (x₀ = L/2) spowoduje, że sin(nπ/2) wyniesie zero dla każdego parzystego n, cichząc całkowicie każdy parzysty przysadek i pozostawiając tylko nieparzyste — ton bardziej czysty i otwarty, który grający na gitarze nad południem drutu tworzy, zrozumiały czy nie za pomocą szeregu Fouriera.

A_n ∝ (1 / n²) * sin(n * π * x₀ / L)

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz String Physics — Vibrating String & Harmonics i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.