Spirograf: Matematyka koł rollingowych

Od cykloid do hipotrochoid

Przewróć okrąg po linii prostej i punkt na jego krawędzi opisuje cykloidę — słynną jako brachistokrong (najskorzystniejsza droga) i tautochrone (krzywa równo czasowa, Huygens 1659). Przewróć okrąg zamiast tego wewnątrz ustalonego okręgu zewnętrznego otrzymujesz hipokykloidę, z cuspami gdy R/r jest liczbą całkowitą: R/r=3 daje deltoida, R/r=4 daje astroidę (x^(2/3)+y^(2/3)=R^(2/3)). Przenieś punkt opisujący o dystans d od centrum okręgu przewracającego i hipokykloidę generalizuje się do hipotrochoidy — dr daje skrzyżowane pętle. To dokładnie krzywa, którą rysuje 1965 Spirograph®.

Liczenie petli za pomocą NWD

Ile ma petli krzywa spirografowa? Zredukuj k = R/r do najprostszych ułamków p/q, gdzie gcd(p,q)=1. Hypotrochoid (rolling inside) tworzy p − q petli; epitrochoid — rolling zewnątrz okręgu stałego, rodzina obejmująca cardioidę (R/r=1) i nephroidę (R/r=2) — tworzy p + q petli. Dla R=60, r=24, gcd=12, stosunek zredukowuje się do 5/2, co daje 5−2 = 3 petli; dla R=60, r=16 otrzymujemy stosunek 15/4 i 11 petli. To jest powodem, dlaczego rzeczywiste zęby spirografu drukują swoje liczby zębów — wzór jest całkowicie przewidziany przed tym, jak go narysujesz.

x(t) = (R−r)·cos(t) + d·cos((R−r)t/r)
y(t) = (R−r)·sin(t) − d·sin((R−r)t/r)

Reduce R/r = p/q, gcd(p,q)=1:
  hypotrochoid petals = p − q      epitrochoid petals = p + q
  full period: t goes from 0 to 2π·p

Figury Lissajousa: granica R → ∞

Gdy promień zewnętrzny R rośnie w stronę nieskończoności, podczas gdy r pozostaje stałe, koło rollingowe lokalnie przybliża się do rollowania po linii, a hipotrochoida staje się figurą Lissajousa — x(t) = A·sin(at+δ), y(t) = B·sin(bt), krzywa widziana na oscylometrze podczas odczytywania dwóch sinusoidalnych napięć, które sterują platami deflekcji X i Y. Proporcja częstotliwości a/b równa 1 z przesunięciem o czwartą obrót daje okrąg; proporcja 2:1 daje figurę osiemkową. Podobnie jak w przypadku spirografu, krzywa Lissajous zamknięta jest tylko, gdy a/b jest wymiernym — zarówno spirograf, jak i krzywa Lissajous są sumą dwóch ruchów (lub oscylacji) kołowych.

Epicykle Fouriera: dowolna krzywa z okręgów

Spirograf połącza dokładnie dwa ruchy kołowe. Epicykle Fouriera uogólnia to na dowolną liczbę okręgów: z(t) = Σ cₙ·e^(inωt), gdzie każda warunek jest okręgiem o promieniu |cₙ| obracającym się z prędkością n, a współczynniki cₙ są Transformacją Fouriera Dyskretną krzywej docelowej pomiaru N punktów. Nawiąż pięćdziesiąt lub więcej takich obracających się ramion i wierzchołek trasa prawie dowolny zamknięty kształt — portret, granica kraju, ręcznie napisaną literę — to samo matematyka dekompozycji fal dźwiękowych na składowe częstotliwościowe, zastosowana do krzywej 2D zamiast sygnału 1D.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Parametric Spirograph Patterns i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.