2D Spin Lattice: Rośnie magnet z rzutu monetą

Magnet jest milionami zgadzających się rzuć monetą

Ferromagnetyk, jak żelazno, mikroskopicznie, to siatka momentów magnetycznych atomowych — spinów — każdy z których chciałby wskazywać taką samą kierunkiem jak sąsiadujące spiny, ponieważ to obniża lokalną energię wymiany. Na wysokich temperaturach, termiczne drętwienie losowo zasymetryzuje spiny szybciej niż ich połączenie może je wyrównać, a materiał nie pokazuje żadnej netto magnetyzacji. Jeśli chłodzi go poniżej krytycznej temperatury, to połączenie wygrywa: sąsiednie spiny zaczynają zgadzać się, obszary wzorcowych spinów rosną, a cała próba może rozwinąć netto moment magnetyczny bez żadnego zewnętrznego pola. To jest samozapoczątkiwany magnetyzacja, a to jest jedna z najprostszych przykładów w fizyce, jak macroscopicza porządkowość wywodzi się z plynnych interakcji.

Hamiltonian

Energia siatki spinów z silacjami ferromagnetycznymi między sąsiadującymi spinami wynosi hamiltonian Heisenberga (lub, dla dyskretnych spinów w górę/w dół, hamiltonian Isinga):

H = -J · Σ⟨i,j⟩ Sᵢ · Sⱼ J = stała silacjowa (J > 0 zachęca do aligmentu równoległego, czyli „ferromagnetycznego”) ⟨i,j⟩ = suma dla każdej pary SĄSIEDNICH w siatce, policzona raz Sᵢ = spin na pozycji i — wektor jednostkowy dla spinów Heisenberga, ±1 dla spinów Isinga Ten hamiltonian jest świadomie prosty: interagują tylko sąsiadujące spiny, a sila silacjowa jest taka sama w całym systemie. Ta prosta forma jest kluczowa — to minimalna model, który reprezentuje prawdziwe przejście fazowe ferromagnetyczne, a także jest rozwiązalny dokładnie w niektórych przypadkach (np. dla 2D modelu Isinga, słynnie, przez Larsa Onsagera w 1944 roku), co sprawia, że służy jako standard do sprawdzenia każdego symulacji i przybliżenia.

H = -J · Σ⟨i,j⟩ Sᵢ · Sⱼ

J     = exchange coupling constant (J > 0 favours parallel, "ferromagnetic" alignment)
⟨i,j⟩ = sum over each pair of NEAREST NEIGHBOURS on the lattice, counted once
Sᵢ    = spin at site i — a unit vector for Heisenberg spins, ±1 for Ising spins

Algorytm Metropolisa

Precyzyjne wyliczenie każdego konfiguracji spinu do znalezienia średnich termicznych jest niemożliwe dla dowolnej siatki większej niż kilka miejsc — przestrzeń stanów rośnie eksponencjalnie. Algorytm Metropolisa (1953) zamiast tego tworzy losową turę przez przestrzeń konfiguracyjną, której długość-runną częstotliwość odwiedzania pasuje do rozkładu Boltzmanna, bez kiedykolwiek obliczania funkcji podziału:

powtarzaj dla każdego kroku Monte Carlo: wybierz losowe miejsce i zasugeruj obrót (lub odwrócenie) spinu Sᵢ oblicz ΔE = E_new - E_old (tylko cztery sąsiadujące spiny mają znaczenie — drogie! jeśli ΔE <= 0: przyjmij obrót // zawsze bierzemy poprawienia w przeciwnym razie: przyjmij z prawdopodobieństwem exp(-ΔE / kT) // czasami bierzemy gorsze stan w przeciwnym razie: odrzuć, pozostaw Sᵢ niezmieniony kluczowym szczegółem jest to, że obracania są lokalne: ponieważ tylko cztery (lub sześć w trójwymiarowej sytuacji) najbliższe sąsiadujące więzi zmieniają się, gdy jeden spin obraca się, ΔE jest zawsze małą ilością dodawania niezależnie od wielkości siatki, więc pełny „przegub” po przejściu przez każde miejsce jest drogie. Wykonaj wystarczająco dużo przegubów i zbiór odwiedzonych konfiguracji spełnia równowartość szczegółową — reguła przyjmowania/odrzucającego jest zaprojektowana tak, aby w równowadze przejścia między dowolnymi dwoma stanami miały miejsce zgodnie z rozkładem Boltzmanna na temperaturze T. To jest to, co uzasadnia traktowanie średnich po czasie podczas symulacji jako średnich termicznych.

repeat for each Monte Carlo step:
  pick a random site i
  propose flipping (or reorienting) spin Sᵢ
  compute ΔE = E_new - E_old   (only 4 neighbours matter — cheap!)
  if ΔE <= 0:
    accept the flip                         // always take improvements
  else:
    accept with probability exp(-ΔE / kT)   // sometimes take worse states
  else: reject, keep Sᵢ unchanged

Obserwacja przejścia

Nasłuchaj parametru porządku — średnej magnetyzacji na spin, m = (1/N)·Σ Sᵢ — podczas wolnego opadania temperatury. Powyżej krytycznej temperatury Tc, m oscyluje blisko zera: spiny są w rzeczywistości niemal niezależne po bardzo krótkim zakresie. Poniżej krytycznej temperatury Tc, m ustosunkowuje się do wartości ±1: prawie każdy spin zgadza się ze swoją sąsiednią grupą. Blisko samej krytycznej temperatury siatka pokazuje domeny różnych rozmiarów jednocześnie, oscyluje w sposób niepokojący i długość korelacji (jak daleko wpływ spinu się rozprzestrzeni) rośnie do nieskończoności — cechą charakterystyczną przejścia kontynuacyjnego (drugi stopnia), a także powodem, dla którego zjawiska krytyczne w pobliżu Tc podlegają uniwersalnej skalowalności potęgowej współdzielonej przez różne fizyczne systemy.

Notatki praktyczne dotyczące symulacji

Blisko Tc, algorytm Metropolisa z jednym przesunięciem spinu cierpi na krytyczne opóźnienie: duże domeny zajmują bardzo długie czasy, aby przeprowadzić jedno przesunięcie spinu, co powoduje wolne osiąganie równowagi i dekorelacji dokładnie tam, gdzie najbardziej potrzebne są dobre statystyki. Algorytmy grupowe, takie jak Wolff i Swendsen-Wang, naprawiają to poprzez przeprowadzanie całego zgrupowania korelowanych spinów w jednym ruchu, znacznie zmniejszając czas efektywnego rozpuszczenia się blisko punktu krytycznego. Dla demona interaktywnej powierzchni, działającego w czasie rzeczywistym, standardowy algorytm Metropolisa z jednym przesunięciem spinu jest zwykle wystarczający — wizualne formowanie i rozpuszczanie domen to dokładnie to, co jest zaprojektowane do pokazania, nawet bez przyspieszeń na poziomie grup.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz 2D Spin Lattice — Heisenberg Ferromagnet i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.