Karpeta Sierpinskiego: Usuwanie centrum, w nieskończoność

Usuwanie centrum, w nieskończoność

Karpeta Sierpinskiego tworzy się zgodnie z jednym przepisem stosowanym rekurencyjnie. Podziel kwadrat na siatkę 3×3 składającą się z dziewięciu równych podkwadratów, usuń centrowy i zastosuj ten sam przepis do każdego z pozostałych osiem podkwadratów. Powtarzaj dla dowolnej liczby poziomów. Waclaw Sierpinski opisał ją w 1916 roku, dwa lata przed bardziej znanej trójkątami, do której jest podobny, a to jest dwuwymiarowym odpowiednikiem zbioru Cantora — taką samą ideę usuwania centrum, o jednym wymiarze więcej, w siatce zamiast na linię.

function carpet(x, y, size, level) {
  if (level === 0) { fillSquare(x, y, size); return; }
  const s = size / 3;
  for (let row = 0; row < 3; row++)
    for (let col = 0; col < 3; col++) {
      if (row === 1 && col === 1) continue;  // skip the centre cell
      carpet(x + col * s, y + row * s, s, level - 1);
    }
}

Jaka pole przetrwa

Każdy poziom zachowuje 8 z 9 podkwadratów, więc po n poziomach pozostaje (8/9)ⁿ częściowego pierwotnego kwadratu. Ten stosunek zmniejsza się powoli na początku — 88,9% po jednym poziomie, 79% po dwóch — ale jest prawdziwym zjawiskiem geometrycznej zanikania: do poziomu 10 pozostaje już mniej niż 28% pola, a do poziomu 20 mniej niż 8%. W granicy dla n → ∞ pole zanika dokładnie do zera, nawet jeśli karpeta nadal zawiera nieskończenie wiele punktów i, nieoczekiwanie, nadal jest ścieżkowo-pojedyncza — można przejść między dowolnymi dwoma przetrwującymi punktami bez opuszczenia karpety, w przeciwieństwie do zbioru Cantora całkowicie rozłącznego.

Przestrzeń między linią a płaszczyzną

Dyament karpety (hausdorffowy) wynika bezpośrednio z metody konstrukcji: na każdym poziomie 1 kwadrat jest zastępowany 8 kopiami o skali 1/3, dlatego rozwiązanie to 8 = 3^D, co daje D = log 8 / log 3 ≈ 1.8928. Ta liczba znajduje się dokładnie między 1 (prostą linią) a 2 (pleśniejącym się płaszczyznem), ponieważ karpeta jest prawie kwadratem zapełnionym — zachowuje większość swojej powierzchni na niskich liczbach iteracji i tylko asympotycznie skraca do powierzchni zerowej, dyament ≈1.89 puchu.

Ta sama formuła log(liczba)/log(skala) dajetriangle Sierpinskiego dyament 3/2 ≈ 1.585 (trzy kopie o połowy skali) i dyament Cantora 2/3 ≈ 0.631 (dwie kopie o jednej trzeciej skali). Porównywanie tych trzech obrazów razem jest naj szybszym sposobem na budowanie intuicji, co mierzy "dyament ułamkowy": jak gęsto podobny kształt wypełnia przestrzeń, w której jest umieszczony.

Rodzony trójwymiarowo: spongia Menger

Zastosuj tę sama logikę podziału i usuwania do sześcianu podzielonego na siatkę 3×3×3 złożoną z 27 mniejszych sześcianów, usunąwszy centrum każdego z sześciu ścian plus sam centrum (usunięto 7, zachowano 20), a otrzymany jest spongia Menger — twarda substancja o zerowej objętości, nieskończonej powierzchni i przekroju pośrednim, który dokładnie odpowiada karpetce Sierpinskiego. Jej wymiar wynosi log 20 / log 3 ≈ 2,727, ponownie dokładnie między wymiarem powierzchni (2) a twardą substancją (3).

Gdzie ten wzór pojawia się poza czystą matematyką

Rodzice anten fraktalnych są prawdziwym zastosowaniem technicznym: anteny budowane na podstawie geometrii karpety Sierpinskiego lub trójkąta Sierpinskiego są naturalnie wielobandowe, ponieważ każda poziom iteracji rezonuje w innej podobnej do siebie skali, co pozwala jednej fizycznej antenie odpowiadać efektywnie na wiele oddzielonych pasek częstotliwościami zamiast potrzebować osobnej anteny dla każdego pasa. Taka sama idea rekurencyjnego usuwania pustego miejsca również pojawia się w inżynierii konstrukcyjnej szkieletowej i siatkowej, gdzie usuwanie materiału na każdym poziomie skali wymienia małą stratę sprężystości na duży obniżenie masy.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Sierpinski Carpet i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.