Ruch projektilowy: od idealnej paraboli do rzeczywistej ballistyki

Proste przypadki: bez powietrza, płaska terytoria

Usunięcie oporu powietrza i poziomego pola grawitacyjnego sprawia, że ruch rzucanej obiekty jest najprostszym możliwym ruchem: stała prędkość pozioma oraz stałe przyspieszenie g w kierunku pionowym. Rozdziel prędkość początkową v0 pod kątem θ na składowe v0·cos(θ) i v0·sin(θ), a obie składowe decydują całkowicie samodzielnie — grawitacja nigdy nie wpływa na ruch poziomy, a ruch poziomy nigdy nie wpływa na ruch pionowy. Ta niezależność jest to, co przekształca trajektorię w dokładną parabolę, i pozwala zapisać odległość, wysokość i czas lotu jako formuły zamknięte, a nie coś, czego trzeba symulować.

x(t) = v0 cos(θ) · t y(t) = v0 sin(θ) · t − ½ g t² termin lotu T = 2 v0 sin(θ) / g maksymalna wysokość H = v0² sin²(θ) / (2g) odległość R = v0² sin(2θ) / g ← maksymalizowana dla θ = 45° Zależność formuły od sin(2θ) wyjaśnia fakt, który każdy strzelnik i każdy dziecię zauważyło: kąty 30° i 60° dają dokładnie tą samą odległość, ponieważ sin(60°) = sin(120°). Jedynym kątem, który osiąga maksimum, jest 45°, a to jest jedyny kąt, który dla danej prędkości początkowej daje najdłuższą odległość — ale tylko w tym idealizowanym świecie bez oporu powietrza.

x(t) = v0 cos(θ) · t
y(t) = v0 sin(θ) · t − ½ g t²

time of flight   T = 2 v0 sin(θ) / g
max height       H = v0² sin²(θ) / (2g)
range            R = v0² sin(2θ) / g   ← maximised at θ = 45°

Dodanie oporu powietrza ruczy symetrię

Przyspieszenia rzutu rzucanej pozywko wyradzają miejsce dla powietrza, a siła oporu zawsze skierowana jest przeciwnie do wektora prędkości, z wartością proporcjonalną do kwadratu prędkości — w trybie turbulentnym, który najbardziej obserwuje rzucane lub strzelone obiekty, F_drag = ½ ρ v² C_d A. Ponieważ opór zależy od prędkości, równania ruchu poziomego i pionowego przestają być niezależne: oba zawierają teraz ogólną prędkość, więc już nie można ich rozwiązać w zamkniętej formie. Trajektoria musi być przesunięta numerycznie, oceniając siłę oporu na podstawie bieżącej prędkości przy każdym małym odcinku czasu.

v = sqrt(vx² + vy²) ax = −(k/m) · v · vx ay = −g − (k/m) · v · vy // k = ½ ρ C_d A, współczynnik oporu Siła oporu jest największa dokładnie tam, gdzie prędkość jest najwyższa — dokładnie po wystrzale — więc w momencie początku lotu najbardziej zdejmuje ona energetyczną wartość rzutkowi. Rzutk musi osiągnąć swoją maksymalną wysokość później, wolniej i bliżej punktu wystrzału niż przewidziałoby to formuła bez oporu powietrza. Pada następnie po krzywej znacząco bardziej nachylonej niż kąt pod jakim wzwyż. Przyspieszona parabola symetryczna się odwraca, stając się nachylna w dół i porównanie mniej nachylona w górę — charakterystyczny kształt każdej rzeczywistej trajektorii ballistycznej, od rzucanej piłki do baseballa do pocisku artylerijskiego.

v = sqrt(vx² + vy²)
ax = −(k/m) · v · vx
ay = −g − (k/m) · v · vy      // k = ½ ρ C_d A, the drag coefficient bundle

Dlaczego 45 stopni już nie jest optymalnym kątem

Z powodu tego, że opór powietrza karze czas przebywania w powietrzu bardziej niż bezpośrednio kąt startowy, optymalny kąt do maksymalnej odległości spada po włączeniu oporu powietrza — zazwyczaj do wyższych 30 stopni lub niskich 40 stopni, a jeszcze niższy dla obiektów o dużym współczynniku oporu w stosunku do masy, jak piłka plażowa w porównaniu z kula strzałową. Płaski start oferuje mniejszą maksymalną wysokość na korzyść krótszego czasu wybrukowania się pod wpływem oporu powietrza, a dla wystarczająco opornych obiektów ta wymiana jest zasługująca. Start z wyższej pozycji niż miejsce lądowania spuszcza optymalny kąt dalej, ponieważ grawitacja ma więcej odległości do działania niezależnie od kąta, podczas gdy start z niższej pozycji przesuwa go w górę. Niektóre z tych efektów nie pojawiają się w formule płaskiej i bez oporu — tylko pojawiają się one, gdy rzeczywiście integrujemy równania ruchu.

Zmiana grawitacji: Ziemia, Księżyk, Jowisz

Długość lotu skaluje się jako 1/g w prostym modelu, więc zamiana przyspieszenia grawitacyjnego w danej lokalności skali całą trajektorię. Grawitacja Księżyka, około jednej szesnastej grawitacji Ziemi, pozwala projektilowi, który został wystrzelony z takiej samej prędkości i kąta, lotować o około sześć razy dalej i podnosić się o około sześć razy wyżej — co wyjaśnia dlaczego strzały do lądowania i długie skoku astronaucetów Apollo wyglądały tak niezwykle inaczej niż to możliwe było na Ziemi. Grawitacja Jowisza, około dwóch i pół grawitacji Ziemi, robi exactly opposite: ona zwraca projektil do ziemi przed tym, jak mógłby zdobyć jakiekolwiek znaczne odległości, spłaszczając ten sam lot w krótki, chropawy łuk.

Czytanie obwodu zasięgu

Użyteczny sposób na widzenie całości rodziny możliwych trajektorii dla ustalonej prędkości startowej to obwód zasięgu — zewnątrznią krzywą ograniczającą każdą trajektorię, którą można osiągnąć poprzez zmianę kąta. W przypadku bezdrążkowego ruchu ten obwód jest sam himself parabolą, nazywaną parabolą bezpieczeństwa w kontekście artylerii: oznacza on najbardziej odległy granicznik, do którego może dotrzeć dowolny kąt szukający celu przy danej prędkości muzzlu, a każdy cel znajdujący się wewnątrz niego można zestrzelić dokładnie dwoma kątami sumującymi się do 90°. Każdy cel poza nim jest niewykorzystany, niezależnie od wybranego kąta. Nawiązywanie wielu kątów startowych obok siebie, jak to robi symulacja, od 15° do 75°, sprawia, że zarówno obwód, jak i simetria 30°/60° są widoczne na pierwszy rzut oka.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Projectile Motion – Launch Angle & Speed i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.