Dinamika populacji: Logistyczny wzrost i cykle…

Eksponejencyjny wzrost nie może trwać dłużej

Najprostszy model populacji, dN/dt = rN, rosnie bez ograniczeń o stałą szybkość r. W rzeczywistych środowiskach to nie jest możliwe — jedzenie, przestrzeń i predatorki ograniczają liczbę indywidualnych organizmów, które mogą przetrwać. Model logistyczny dodaje bezpośrednio ten limit do równania, używając pojemności nosnej K:

dN/dt = r * N * (1 - N/K)
when N << K: growth is nearly exponential, dN/dt ~ r*N
when N -> K:  growth rate -> 0, population levels off
when N > K:   dN/dt < 0, population declines back toward K

demo na żywo · powiązana symulacja● LIVE

Krzywa S i dlaczego mał_litka K ma znaczenie

Narysowana w czasie, logistyczna rosnąca trasa krzywą S: wolny początek, przyspieszona wzrost, gdy zasoby są bogate, a następnie zakręt, gdy konkurencja o jedzenie i miejsce do zamieszkania intensyfikuje się, oraz półka na K, maksymalnej populacji, która może być utrzymywana przez środowisko w nieskończoność. K nie jest stałe w naturze — sezonowe brak wody, nowe źródło jedzenia lub strata siedliska mogą przesunąć ją w górę lub w dół podczas symulacji, a populacja rośnie lub zanika ku nowemu limitowi.

Dodanie drugiej gatunki: równania Lotka-Volterra

Jedno równanie logistyczne opisuje jednogatunkowe społeczności w stacjonarnym środowisku. W rzeczywistych ekosystemach gatunki są połączone, a klasycznym przykładem jest jaszczurka i jej ofiara. Równania Lotka-Volterra modelują obie populacje jednocześnie:

dPrey/dt     = a*Prey - b*Prey*Predator
dPredator/dt = d*Prey*Predator - c*Predator
a = prey growth rate,        b = predation rate
c = predator death rate,     d = predator growth per prey eaten

Dlaczego systemy zwierząt predatorów i ofiar nie ustają w spoczynku, ale kacją

Jako że logistyczne wzrost jednorodzny nie osiąga punktu stałego podstawowymi równaniami, a zamiast tego kacaje, Lotka-Volterra to samo. Wysoka ilość ofiar pozwala na rozmnazanie się predatorów; więcej predatorów sprowadza do zmniejszenia populacji ofiar; mniejsza liczba ofiar osłabia predatorków; zmaleją one w liczbie; ofiary odzyskują siły; cykl powtarza się. Dwie populacje są zawsze poziomie wyjściowym, a szczyty liczebności predatorów odkładają się za szczytami liczebności ofiar. Ta opóźnienie jest przyczyną tego, dlaczego rzeczywiste pary predatorów i ofiar, takie jak lynx i jelen z koziołami w lustrzanej czworostroniu Hudsona-Bay Company, pokazują te cykle wzrostu-i-zmniejszenia, a nie stabilne współistnienie.

Co przerzuca idealdyjalny cykl

Model Lotki-Volterry pureszyczny zakłada nieograniczone wzrost populacji ofiar w braku predatorów oraz natychmiastową, bezfrictionową reakcję — założenia, które ekosystemy rzeczywiste nie spełniają. Dodanie pojemności nosnej do wzrostu ofiar, lub zatmatowanej funkcji predacji (predator może jedzić tylko tak szybko, nawet przy bogatej dostępności ofiar, odpowiedzialnej za reakcję funkcjonalną), ucisza oscylację w kierunku równowagi stabilnej zamiast niekończącego się cyklu. To dlaczego ekolodzy traktują podstawową parę Lotki-Volterry jako model jakościowy początkowy, a nie jako przewidywanie ilościowe — wyjaśnia istnienie cykli, mniej precyzyjnie określając, jak duże ani jak długie będą one.

Często zadawane pytania

Co się dzieje z populacją po osiągnięciu jej poziomu nosowości?

Pod warunkiem logistycznego modelu, stopa wzrostu spadnie do zera, gdy N równe jest K, ponieważ wyrażenie (1 - N/K) znika — urodzenia i zabójstwa się równoważą, a populacja utrzymuje się na poziomie K, chyba że środowisko same ze sobą zmienia się i przesuwa K w górę lub w dół.

Dlaczego populacje predatorów i ofiar oscylują zamiast osiągnąć stabilny równowagowy stan?

W podstawowych równaniach Lotka-Volterra istnieje wbudowany opóźnienie: predatorzy tylko spadają po tym, jak staje się już rzadkość ofiar, a ofiary tylko odzyskują siły po tym, gdy predatorzy już spadną. To opóźnienie powoduje oscylację zamiast konwergencji do punktu stałego — wierzchołki populacji predatorów odkładają się na około czwartą cyklu za wierzchołkami populacji ofiar.

Czy rzeczywiste dane pokazują fale oscylacyjne typu Lotka-Volterra?

Tak, najjednoznaczniejszym przykładem jest okres wokół dziesięcioletni cykl wzrostu-i-zgina populacji lynxów kanadyjskich i jeleni sztachetowych, zaznaczony w notatkach firmy Hudson's Bay Company zajmującej się handlem skór, który blisko odpowiada kwalitatywnemu kształtowi przewidzanemu przez sprzężone równania predatora-ofiary, choć amplituda i okres zależą od szczegółów, które model idealizowany pomija.

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Population Dynamics — Logistic Growth & Predator-Prey i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.

▶ Otwórz symulację Population Dynamics — Logistic Growth & Predator-Prey

Dinamika populacji: Logistyczny wzrost i cykle predatora-ofiary