Spirala Fibonacciego: Proporcja złota, Kąt złoty i Dlaczego Kwiatki Słońca Liczą W Złotym Ciagu

Spirala z kwadratów i spirala z kąta

Istnieją dwa związane, ale różne konstruowania nazywane „spiralem Fibonacciego”, a ta symulacja pokazuje oba. Pierwsze: rysuj kwadraty o bokach równych kolejnym liczbom z ciągu Fibonacciego (1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, …) i układaj je wraz z sąsiednimi kwadratami tworząc nieskończony prostokąt. Następnie rysuj łuk okręgu o czwarta części kola przez każdy kwadrat. Wynikiem jest dyskretna, kwantowana spirala, która przybliża się — ale nie jest identyczna z – prawdziwej złotej spirali logarytmicznej, która rosnie dokładnie o złoty spór φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618034 w każdym czwarta obrót.

F(0)=0, F(1)=1, F(n) = F(n-1) + F(n-2)
F(n)/F(n-1) → φ = (1 + √5)/2 ≈ 1.618034...   as n → ∞

golden spiral (continuous): r(θ) = a · φ^(2θ/π)   — grows by φ every 90° turn

Kąt złoty i filotoplaksja

Przełącz się do trybu filotoplaksjowego i obraz się zmienia całkowicie: zamiast łuków przechodzących przez kwadraty, punkty są umieszczane jeden po drugim, każdy obracany w stosunku do poprzedniego o kąt złoty, ≈137,5° — kąt dzielący pełen okrąg w proporcji złotej (360°/φ² ≈ 137,5077…°). Umieszczenie punktu n na promieniu √n i kącie n × 137,5° powoduje pojawienie się tego samego wzoru spirali przewinionej widocznego w nasadzie kwiatu solneńca, skalek zimowców lub oczu ananasu.

for (let n = 0; n < N; n++) {
  const theta = n * goldenAngle;      // ≈137.50776°, in radians
  const r = c * Math.sqrt(n);         // even area per point
  x = r * Math.cos(theta);
  y = r * Math.sin(theta);
}

Dlaczego 137,5° — „najbardziej nieprzewidywalny” kąt

Kąt złoty jest wyborem, który ułożenie punktów sprawia, że one są jak najbardziej rozłożone, zawsze różnie w kierunku radialnym. Powoduje to, ponieważ φ (fajerwerk) jest w precyzyjnym sensie ciągów ułamkowych trudniejszym do przybliżenia przez ułamek — jego ciąg ułamkowy wynosi [1; 1, 1, 1, 1, …], z jedynkami na zawsze. To sprawia, że jego przybliżenia ułamkowe konvergują wolniej (mniej skutecznie) niż dla żadnej innej liczby niewymiernej. Jeśli roślina rozstawiłaby nowe liście lub nasiona w wymiarach równej dokładnie 1/3 czy 3/8 pełnego obręcy, widoczne byłyby puste przestrzenie i grupy jako kółka; używając liczby, która najbardziej odpiera przybliżenie ułamkowe, wzrost unika sytuacji, gdy dwa elementy zawsze leżą na tej samej linii radialnej, co pozwala na maksymalne wypełnienie danego obszaru nasionami z równomierną rozpraszaniem.

Liczenie ramion spirali: ponownie liczby Fibonacciego

Podglądając rzeczywisty (lub symulowany) punktowy wzór z kątem złotym, oko wydaje się odnaleźć dwie rodziny interleaved ramion spiralnych — jedna krzywo skierowana w prawo, druga w lewo — a liczenie ich zwykle daje dwie kolejne liczby Fibonacciego: najczęściej 21 i 34, lub 34 i 55 w dużym głowicy kwiatu słonecznego, co zgadza się z dekadami badań botanicznych (duża literatura od XIX wieku przeprowadziła te same obliczenia dla tysięcy rzeczywistych głowic słonecznych i konewców sosnowych). To bezpośrednia konsekwencja tego, jak dobrze proporcje takie jak F(n)/F(n+1) przybliżają kąt złoty: oko skupia się na tym liczeniu ramion spiralnych, które odpowiada najlepszej racjonalnej aproksymacji φ, a to zawsze jest proporcja dwóch kolejnych liczb Fibonacciego ze względu na sposób działania ułamka dziesiętnego kontinuowanego dla liczby złotej.

Czy ten wzór jest uniwersalny w roślinach, czyli przesadzany?

To jest prawdziwy, ale nie literale uniwersalny — botanicy dokumentowali wzory filoptykalne oparte na ciągu Fibonacciego (a czasami także na liczbach Lucasa) u większości badanych gatunków roślin. Mechanizm zaproponowany przez późniejsze badania (w szczególności prac bazujących na fizycznych i komputerowych modelach Douady i Coudera z lat 90.) pokazuje, że prosta lokalna reguła — pojawianie się nowego primordium (rodzaju przewodnika wzrostu) w najmniej zaludnionej dostępnej kątowej pozycji względem jego bezpośrednich poprzedników — samowolnie tworzy bliski kąt złoty bez tego, aby roślina „wiedziała” φ. Jest to emergentny optymalizator wynikający z lokalnej konkurencji o miejsce, a nie z matematycznego stałą zakodowaną w systemie, co jest również powodem dla rzadkich odchyleń realnych roślin od tego wzoru.

Często zadawane pytania