Elastyczne wahadło: Kiedy Pogojenie i Drgawka Zamieniają Miejsca

Jedna dodatkowa stopa swobodności zmienia wszystko

Proste wahadło ma jedno poruszające się element w sensie, który liczy: kąt skoku. Zamień sztywny pręt na sprężynę i dodasz drugą stopę swobodności – rozciągnięcie – a te dwie już nie są niendependenckie. Grawitacja zmusza masę do spadania zarówno w pionowym, jak i poziomym kierunku jednocześnie, a siła powrotowa sprężyny zależy od tego, jak bardzo jest ona rozciągnięta oraz pod jakim kątem wisieje, więc mały niejILINEARNY wyraz łączy pionowe drgania z bokiem skokiem. Ten jedyny wyraz łączący jest odpowiedzialny za wszystko ciekawe w tym systemie.

Dwa naturalne częstotliwości

Na chwilę pozbierzmy się od sprzężenia i układ ma dwa niezależne naturalne częstotliwości: częstotliwość drgań sprężyny omega_r, zależną od jej mocy k i masy zawieszanej m, oraz częstotliwość skoków wahadła omega_theta, zależną od równowagowej długości sprężyny L i grawitacji g.

omega_r = sqrt(k / m) // drgania pionowe, z powodu stałej sprężystości omega_theta = sqrt(g / L) // skoki boczne, z powodu długości wahadła W większości przypadków dla wartości k, m, L i g te tryby niemal nie wpływają na siebie: dajemy układowi pionowe drgania czyste i pozostają one czystymi drganiem pionowymi, a skoki boczne pozostają skokami bocznymi, oprócz bardzo wolnego, słabej strumienia.

omega_r     = sqrt(k / m)       // vertical bounce, from the spring constant
omega_theta = sqrt(g / L)       // sideways swing, from the pendulum length

Autoparametryczne rezonans 2:1

Wszystko się zmienia wokół jednego szczególnego stosunku: omega_r ≈ 2 · omega_theta, sprężyna drga przy około dwukrotniej częstotliwości, z jaką wahadło drży. To nazywa się autoparametrycznym rezonansem, ponieważ tryb drgania sprężyny efektywnie działa jako okresowa modulacja własnej siły powrotnej wahadła, tak jak pozwala to na podnoszenie sieci przez bocowanie ciała dwukrotnie w ciągu jednego cyklu drgań. Zaczynając system w puresjście pionowe przy tym stosunku, nie pozostanie on pionowe: tryb wahania jest parametrycznie napędzany, rośnie z szumu numerycznego lub najmniejszego początkowego kąta i kradnie energię od drgania. Po osiągnięciu odpowiedniej wielkości wahadło wraca energię do drgania, a cykl powtarza się - wolny, wspaniały rytm, podczas którego wahadło alternuje między puresjstem prostopadle w górę i dół oraz drżeniem na szerokich łukuach. Analizowano go pierwszy raz w latach 30. XX wieku i od tamtej pory jest przykładem wzajemnego sprzężenia trybów nieciągłych.

Od rytmu pulsacji do chaotycznego systemu

Na małych amplitudach wymiana energii blisko 2:1 rezonansu jest prawie okresowa - gładka, powtarzająca się pulsacja. Podnosząc amplitudę, nieILINEARNE terminy sprzężenia stają się dominującymi, a wahadło elastyczne przekształca się w prawdziwy system chaotyczny: ścieżka w przestrzeni fazowej stała się czuła na początkowy kąt i rozciąganie do tego stopnia, że dwie niemal identyczne początkowe stanowiska oddzielają się całkowicie w ciągu kilku oscylacji. Nie tak jak podwójny wahadło, którego chaotyzm wynika z dwóch drgających ramion, chaos w wahadle elastycznym pochodzi jedynie z interwencji jednego liniowego trybu rozciągania i jednego nieLINEARNEGO trybu drgań - przypomnienie, że nie musisz mieć wielu elementów, aby stracić przewidywalność, wystarczy odpowiedni rezonans i wystarczająca energia.

Poprawne symulowanie

Dzięki temu energia przemieszcza się na wolnym czasowym skalę w stosunku do naturalnej częstotliwości, integrator utraczący lub zdobywający energię zniszczy wzór pulsacji już po kilku cyklach, nawet jeśli pojedyncze oscylacje wyglądają dobrze. Ta symulacja integruje równania ruchu sparytowanych równań Lagrange’a przy użyciu metody RK4 na stałe, małym kroku czasowym, aby uniknąć zatępienia wolnej wymiany energii między trybami przez numeryczne odchyle - to samo lekcje, która dotyczy podwójnego wahadła i orbit N-ciał.

Często zadawane pytania

Wypróbuj na żywo

Wszystko powyżej działa bezpośrednio w Twojej przeglądarce — otwórz Elastic Pendulum i zmieniaj parametry podczas działania. Nic nie jest instalowane ani przesyłane na serwer, cały model działa w jednej karcie.