🎨 Fonctions complexes

Une coupure de branche est une ligne du plan complexe où une fonction multivaluée telle que log(z) ou z^(1/2) est rendue artificiellement univaluée en déclarant une branche comme « valeur principale ». En coloration de domaine, cela se traduit par une discontinuité nette de teinte — les couleurs sautent brusquement d'une valeur à son image miroir de part et d'autre de la coupure. La coupure de branche conventionnelle pour log(z) longe l'axe réel négatif ; la valeur principale de arg(z) se situe dans (-π, π].

Une fonction complexe f = u + iv est complexe-différentiable (holomorphe) en un point si et seulement si ses parties réelle et imaginaire satisfont ∂u/∂x = ∂v/∂y et ∂u/∂y = −∂v/∂x. C'est l'équation de Cauchy-Riemann. En coloration de domaine, les régions holomorphes se distinguent par des motifs de couleur lisses et conformément déformés ; les fonctions non analytiques (comme |z| ou Re(z)) produisent des champs de couleur qui violent la symétrie de Cauchy-Riemann et paraissent « déchirés ».

La fonction zêta de Riemann ζ(s) possède un unique pôle en s = 1 (un point blanc lumineux avec rotation horaire de la teinte) et une infinité de zéros que l'on pense situés sur la droite critique Re(s) = 1/2 (l'hypothèse de Riemann). En coloration de domaine, les zéros apparaissent comme des points sombres où les teintes convergent dans le sens antihoraire. Le premier zéro non trivial se situe à s ≈ 0,5 + 14,135i — une tache sombre saisissante visible lorsque le tracé est zoomé sur cette région.

Une application conforme est une fonction complexe qui préserve localement les angles — les petites formes sont tournées et mises à l'échelle, mais non cisaillées. Toute fonction holomorphe à dérivée non nulle est conforme. Les ingénieurs exploitent cela pour transformer des problèmes complexes d'écoulement de fluide ou d'électrostatique dans des domaines irréguliers en géométries plus simples : un écoulement autour d'un cylindre peut être transformé en écoulement uniforme, puis retransformé, donnant une solution analytique exacte pour la distribution de pression autour d'un profil aérodynamique.

Le théorème fondamental de l'algèbre énonce que tout polynôme non constant de degré n possède exactement n zéros complexes (comptés avec multiplicité). En coloration de domaine, cela signifie que le tracé de tout polynôme de degré n doit montrer exactement n points sombres (zéros) où la teinte s'enroule dans le sens antihoraire, à condition que la fenêtre d'affichage soit suffisamment grande. Compter l'enroulement fournit une preuve visuelle du théorème pour tout polynôme spécifique que vous saisissez.

La fonction e𝑧 = eẋ⋅e^(iy) a pour module eẋ (qui dépend uniquement de la partie réelle) et pour argument y (qui dépend uniquement de la partie imaginaire). En coloration de domaine, des bandes horizontales de luminosité égale (module constant) s'étendent verticalement, tandis que la teinte se répète tous les 2π dans la direction verticale (imaginaire). La fonction n'a ni zéro ni pôle dans le plan fini — c'est une fonction entière — mais elle possède une singularité essentielle à l'infini.

La méthode de Newton pour trouver les racines complexes d'un polynôme zⁿ − c = 0 associe chaque point de départ à la racine vers laquelle il converge, produisant la fractale de Newton. Si la coloration de domaine est utilisée pour colorer les bassins de convergence, le résultat est une frontière fractale richement structurée (structure de type ensemble de Julia) entre les bassins. C'est l'une des applications visuelles les plus frappantes de la théorie des fonctions complexes, révélant que même la recherche de racines simples est géométriquement complexe.