⛓️ Catenaria

El parámetro a equivale a T₀/(wg), donde T₀ es la componente horizontal constante de la tensión, w es la densidad de masa lineal de la cadena y g es la aceleración gravitatoria. En la simulación, el valor de a se halla numéricamente: dado el vano horizontal y la longitud total del cable L, la ecuación 2a·sinh(D/2a) = L se resuelve de forma iterativa con un método de Newton, donde D es la distancia horizontal entre los anclajes. Una vez hallado a, el pandeo, la longitud de arco y la tensión en cada punto se derivan directamente de las funciones hiperbólicas cosh y sinh.

Las líneas de transmisión eléctrica entre torres cuelgan en catenarias, y los ingenieros permiten deliberadamente un pandeo controlado para reducir la carga de tensión sobre las torres. Los cables principales de los puentes colgantes de gran vano se aproximan a catenarias antes de instalar el tablero; una vez añadido este, la carga distribuida del tablero desplaza la forma hacia una parábola. Las catenarias invertidas forman arcos de compresión estructuralmente eficientes: el famoso Gateway Arch de San Luis es una catenaria con peso, y Robert Hooke usó un modelo de cadena invertida para diseñar la cúpula de la Catedral de San Pablo en Londres.

Sí. Galileo creía que la cadena colgante formaba una parábola, y así lo afirmó en sus Discursos y demostraciones matemáticas en torno a dos nuevas ciencias de 1638. Se equivocaba, y Joachim Jungius demostró después, por medios geométricos, que no podía ser una parábola. La ecuación correcta fue deducida en 1691 de forma independiente por Christiaan Huygens, Gottfried Wilhelm Leibniz y Johann Bernoulli, en respuesta a un reto planteado por Jakob Bernoulli. Fue una de las primeras aplicaciones del cálculo recién desarrollado por Leibniz.

La palabra «catenaria» fue acuñada por Christiaan Huygens en una carta de 1690, del latín catena (cadena). La curva en sí se describió matemáticamente de forma correcta por primera vez en 1691, cuando Huygens, Leibniz y Johann Bernoulli publicaron cada uno, de manera independiente, soluciones al reto planteado por Jakob Bernoulli. Leibniz introdujo la representación mediante el coseno hiperbólico que sigue siendo estándar hoy. Robert Hooke ya había señalado, en un anagrama de 1675, que una catenaria invertida da un arco de compresión perfecto, anticipando esta idea estructural en 16 años.

La tensión T en cualquier punto de la catenaria es T(x) = wg·a·cosh(x/a), que es mínima en el punto más bajo (donde T = wg·a, la tensión horizontal pura) y crece simétricamente hacia los anclajes. La componente horizontal de la tensión es constante en toda la cadena, mientras que la componente vertical equivale a wg multiplicado por la longitud de arco desde el punto más bajo. En la simulación, los vectores amarillos de tensión son proporcionales a cosh(x/a) y tangentes a la curva, mostrando a la vez magnitud y dirección.

Cuando una catenaria se hace girar alrededor de su eje de simetría, genera un catenoide, la superficie mínima que se extiende entre dos anillos paralelos. Una película de jabón estirada entre dos anillos de alambre coaxiales adopta espontáneamente la forma de catenoide porque así minimiza su área superficial total, un resultado del cálculo de variaciones. El catenoide fue la primera superficie mínima descubierta más allá del plano, identificada por Leonhard Euler en 1744. En ingeniería, las formas similares al catenoide aparecen en estructuras de cubierta de láminas delgadas y en la geometría de nanotubos.

En los sistemas de electrificación ferroviaria, el hilo de contacto aéreo se tensa deliberadamente en forma de catenaria (el sistema se llama literalmente "catenaria") para mantener un contacto uniforme con el pantógrafo a alta velocidad. Los ingenieros estructurales usan perfiles catenarios invertidos para arcos de mampostería y cubiertas laminares, porque así se logra compresión pura sin momento flector, maximizando la resistencia por unidad de material. En aeroespacial, las redes de cables basadas en catenarias se usan en reflectores de antena desplegables y en estructuras espaciales ultraligeras. Los arquitectos computacionales usan mallas catenarias como herramienta de búsqueda de forma para cubiertas complejas de forma libre.

La teoría clásica de la catenaria está totalmente resuelta, pero varias áreas de investigación activas se apoyan en ella. Las catenarias elásticas, en las que el cable puede estirarse y su longitud cambia con la tensión, se estudian para las líneas de amarre de plataformas marinas y para globos cautivos de gran altitud, lo que exige ecuaciones acopladas de elasticidad y geometría. Las catenarias giratorias (cadenas en rotación) introducen términos centrífugos que producen bifurcaciones y dinámica caótica bajo ciertas condiciones. En robótica blanda y estructuras transformables se están explorando diseños de actuadores basados en catenarias para lograr cambios de forma programables, mientras que en nanofísica el equilibrio de cintas de grafeno suspendidas sigue una ecuación catenaria modificada que incluye términos de adhesión de van der Waals.