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🚪 Monty-Hall-Paradoxon

Spielen Sie das Monty-Hall-Spiel oder lassen Sie automatisch Millionen von Runden laufen. Vergleichen Sie die Strategien „immer wechseln“ und „immer bleiben“ und beobachten Sie, wie die Gewinnraten gegen 66,7 % bzw. 33,3 % konvergieren.

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Eines der berühmtesten kontraintuitiven Wahrscheinlichkeitsrätsel: Das Wechseln der Tür, nachdem der Moderator eine Ziege zeigt, gewinnt zwei von drei Malen — nicht eines von zweien.

🔬 Was es zeigt

Wenn Sie Tür Nr. 1 wählen (Gewinnwahrscheinlichkeit 1/3), halten die beiden verbleibenden Türen zusammen eine Wahrscheinlichkeit von 2/3. Öffnet der Moderator eine verlierende Tür, konzentriert sich die gesamte 2/3-Wahrscheinlichkeit auf die einzige verbleibende Tür — Wechseln gewinnt also mit Wahrscheinlichkeit 2/3. Bleiben gewinnt nur mit 1/3. Dies ist ein konkretes Beispiel für bedingte Wahrscheinlichkeit und bayessche Aktualisierung: neue Information (die aufgedeckte Tür) verschiebt die Wahrscheinlichkeitsverteilung.

🎮 Bedienung

Im manuellen Modus: Wählen Sie eine Tür, beobachten Sie, wie der Moderator eine Ziege zeigt, und entscheiden Sie sich dann für Wechseln oder Bleiben. Im Automodus: Wählen Sie eine Strategie und stellen Sie die Geschwindigkeit ein — der Simulator lässt Tausende Runden pro Sekunde laufen. Beobachten Sie, wie „Wechseln-Gewinne %“ gegen 66,7 % und „Bleiben-Gewinne %“ gegen 33,3 % konvergieren. Das Konvergenzdiagramm zeigt, wie schnell das Gesetz der großen Zahlen frühe Schwankungen glättet.

💡 Wussten Sie schon?

Das Monty-Hall-Problem wurde 1975 von Steve Selvin aufgeworfen und 1990 von Marilyn vos Savant in ihrer Parade-Kolumne populär gemacht. Ihre korrekte Antwort — wechseln — löste Tausende von Leserbriefen aus (auch von Promovierten), die darauf bestanden, sie liege falsch. Sogar Paul Erdős, einer der produktivsten Mathematiker der Geschichte, weigerte sich zunächst, die Antwort zu glauben, bis ihm eine Computersimulation gezeigt wurde. Das Problem ist nach dem Moderator der TV-Spielshow „Let's Make a Deal“ benannt.

Über diese Simulation

Diese Simulation stellt das klassische Monty-Hall-Problem nach: Ein Auto verbirgt sich hinter einer von drei Türen, Sie wählen eine, und der Moderator öffnet dann eine andere Tür und zeigt eine Ziege, bevor er Ihnen die Möglichkeit zum Wechseln anbietet. Es modelliert das Spiel exakt — Wahl und Preise werden gleichverteilt zufällig gezogen, der Moderator öffnet immer nur eine Verlierertür, die er frei wählen darf — sodass Sie das berühmte Ergebnis testen können, dass Wechseln zwei Drittel der Zeit gewinnt. Tausende Runden zeigen, wie die empirischen Raten durch das Gesetz der großen Zahlen konvergieren.

🔬 Was wird gezeigt

Es zeigt, wie bedingte Wahrscheinlichkeit und bayessche Aktualisierung funktionieren. Ihre erste Tür hat eine Chance von 1/3; das Öffnen einer bekannten Ziegentür durch den Moderator überträgt die verbleibenden 2/3 auf die einzige andere ungeöffnete Tür. Im Automodus werden sowohl das Ergebnis von „immer wechseln“ als auch von „immer bleiben“ für jede zufällige Runde aufgezeichnet, sodass die Gewinnprozentsätze gegen die theoretischen 66,67 % und 33,33 % konvergieren.

🎮 Bedienung

Verwenden Sie die Schaltfläche Manuell, um eine Runde zu spielen: Klicken Sie eine Tür an (A, B oder C), beobachten Sie, wie eine Ziege gezeigt wird, und drücken Sie dann Wechseln oder Bleiben. Die Schaltfläche Auto lässt das Experiment kontinuierlich laufen; der Geschwindigkeitsregler stellt das Tempo von 1 bis 10.000 Runden pro Sekunde ein. Das Statistikfeld und das Konvergenzdiagramm verfolgen live die Gewinnraten von Wechseln und Bleiben, und Zurücksetzen löscht alle Zähler.

💡 Wussten Sie schon?

Das Rätsel wurde 1990 von Marilyn vos Savant populär gemacht, deren korrekte Antwort etwa 10.000 Widerspruchsbriefe auslöste, viele von Personen mit Doktortitel. Der Mathematiker Paul Erdős soll erst überzeugt gewesen sein, nachdem er eine Computersimulation ähnlich dieser hier gesehen hatte.

Häufig gestellte Fragen

Was ist das Monty-Hall-Problem?

Es ist ein Wahrscheinlichkeitsrätsel, das auf einer TV-Spielshow basiert. Ein Preis befindet sich hinter einer von drei Türen; Sie wählen eine, der Moderator öffnet eine andere Tür und zeigt eine Ziege, und Sie dürfen bei Ihrer Tür bleiben oder zur letzten wechseln. Das kontraintuitive Ergebnis ist, dass Wechseln etwa zwei Drittel der Zeit gewinnt, nicht die Hälfte.

Warum gewinnt Wechseln 2 von 3 Malen?

Ihre erste Wahl hat eine Chance von 1 zu 3, richtig zu sein, also besteht eine Chance von 2 zu 3, dass sich das Auto hinter einer der beiden anderen Türen befindet. Da der Moderator immer eine Ziege zeigt, konzentriert sich diese gesamte 2/3-Wahrscheinlichkeit auf die einzige verbleibende ungeöffnete Tür. Wechseln gewinnt daher immer dann, wenn Ihre erste Vermutung falsch war, was zwei Drittel der Zeit der Fall ist.

Was bewirken die Steuerelemente und Modi?

Im manuellen Modus spielen Sie eine Runde nach der anderen, indem Sie eine Tür anklicken und dann Wechseln oder Bleiben wählen. Der Automodus lässt das Experiment automatisch laufen, mit einem Geschwindigkeitsregler, der durch 1, 5, 20, 100, 500, 2.000 und 10.000 Runden pro Sekunde schaltet. Das Statistikfeld zeigt die Gesamtzahl der Runden sowie die Gewinnzahlen und -prozentsätze beider Strategien, während Zurücksetzen alles auf null stellt.

Ist die Simulation mathematisch korrekt?

Ja. Jede Runde platziert das Auto und Ihre Wahl gleichverteilt zufällig, und der Moderator öffnet nur eine Tür, die weder Ihre Wahl noch das Auto ist. Im Automodus bewertet die Simulation sowohl Wechseln als auch Bleiben auf demselben zufälligen Layout, sodass die gemessenen Prozentsätze eine ehrliche Monte-Carlo-Schätzung sind, die gegen die exakten Werte 2/3 und 1/3 konvergiert.

Ändert das Wissen des Moderators die Antwort?

Es ist essenziell. Der 2/3-Vorteil gilt nur, weil der Moderator weiß, wo sich das Auto befindet, und es beim Öffnen einer Tür bewusst vermeidet. Würde der Moderator eine Tür zufällig öffnen und dabei zufällig eine Ziege zeigen, würden Wechseln und Bleiben jeweils zur Hälfte gewinnen — das informierte Verhalten des Moderators ist also die Ursache der Verzerrung.

⚙ Unter der Haube

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