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Polski🌡️ Fourier-Wärmeleitungsgleichung — Diffusion & Randbedingungen
Lösen Sie die Wärmeleitungsgleichung numerisch. Beobachten Sie, wie sich Temperaturprofile mit Dirichlet-/Neumann-/periodischen Randbedingungen entwickeln. Sehen Sie die Konvergenz der Fourier-Reihe in Echtzeit.
Über diese Simulation
Diese Simulation löst die eindimensionale Wärmeleitungsgleichung ∂T/∂t = α·∂²T/∂x² an einem Stab mit 200 Gitterpunkten mittels eines expliziten Finite-Differenzen-Schemas: Jeder neue Temperaturwert ist der alte Wert plus eine Korrektur proportional zur Krümmung seiner Nachbarn, skaliert mit r = α·dt/dx².
🔬 Was gezeigt wird
Der Zeitschritt dt wird aus der Diffusivität α neu berechnet und automatisch auf 80% der Stabilitätsgrenze (r ≤ 0,5) festgelegt, sodass die Simulation nie instabil wird, egal wie Sie den Diffusivitätsregler einstellen.
🎮 Bedienung
Stellen Sie den Regler für die thermische Diffusivität α ein, wählen Sie eine Anfangsbedingung (Gaußscher Puls, Stufenfunktion, Sinuswelle, Heißes Ende) und eine Randbedingung (Dirichlet, Neumann, Periodisch), und drücken Sie Start.
💡 Wussten Sie schon?
Die exakte analytische Lösung der Wärmeleitungsgleichung ist T(x,t) = Σ aₙ·sin(nπx/L)·e^(−(nπ/L)²·α·t): Jeder Modus klingt exponentiell ab, höhere n weit schneller — genau das im Stab- und Profildiagramm sichtbare Glättungsverhalten.
Häufig gestellte Fragen
Welche Gleichung löst diese Simulation eigentlich?
Sie löst die 1D-Wärmeleitungs-(Diffusions-)Gleichung ∂T/∂t = α·∂²T/∂x² an einem Stab mit 200 Gitterpunkten mittels eines expliziten Finite-Differenzen-Schemas: Jeder neue Temperaturwert ist der alte Wert plus eine Korrektur proportional zur Krümmung seiner Nachbarn, skaliert mit r = α·dt/dx². Der Zeitschritt dt wird aus der Diffusivität α neu berechnet und automatisch auf 80% der Stabilitätsgrenze (r ≤ 0,5) festgelegt, sodass die Simulation nie instabil wird, egal wie Sie den Diffusivitätsregler einstellen.
Was bedeuten die drei Randbedingungen physikalisch?
Dirichlet hält beide Enden des Stabes auf einer festen Temperatur — 1,0 am heißen Ende für das „Hot End“-Preset, 0,0 sonst — wie ein Stab mit an eine Heizung und ein Eisbad geklemmten Spitzen. Neumann setzt einen Nulltemperaturgradienten an jedem Ende, was einen perfekt isolierten Stab modelliert, der keine Wärme mit seiner Umgebung austauschen kann. Periodisch schließt den Stab zu einem Ring, sodass Wärme, die rechts austreten würde, links wieder eintritt.
Wie verändert der Regler für thermische Diffusivität das Verhalten?
Der α-Regler (Bereich 0,01 bis 0,5) legt fest, wie schnell sich Wärme ausbreitet: Er erscheint direkt in der Finite-Differenzen-Aktualisierung und im automatisch berechneten Zeitschritt dt = 0,8 × 0,4 × dx² / α. Größeres α glättet das Temperaturprofil schneller in simulierter Zeit.
Was stellen die vier Anfangsbedingungen dar?
Gaußscher Puls startet mit einem glockenförmigen heißen Fleck in der Mitte des Stabes; Stufenfunktion startet als flach-oberer heißer Bereich zwischen x=0,3 und x=0,7; Sinuswelle startet als einzelne Halbperioden-Sinuskurve, ein reiner Fourier-Modus und daher der einfachste zu beobachtende Abklingfall; Heißes Ende klemmt nur die linken 5% des Stabes auf maximale Temperatur.
Warum ist das Fourier-Modus-Diagramm wichtig, und wie wird es berechnet?
Für jeden Modus n von 1 bis 5 integriert die Simulation das aktuelle Temperaturfeld numerisch gegen sin(nπx/L), um die Amplitude dieses Modus zu extrahieren — genau die diskrete Version eines Fourier-Sinusreihenkoeffizienten. Es ist wichtig, weil die exakte analytische Lösung T(x,t) = Σ aₙ·sin(nπx/L)·e^(−(nπ/L)²·α·t) lautet: Jeder Modus klingt exponentiell ab, höhere n weit schneller.