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Polski🔵 Ford-Kreise & Farey-Folge
Visualisieren Sie Ford-Kreise, die die Zahlengerade für jeden Bruch der Farey-Folge tangieren. Beobachten Sie, wie die Mediant-Konstruktion F(n) Schritt für Schritt aufbaut, zoomen und verschieben Sie die Zahlengerade und erkunden Sie die Tangentialbedingung bc−ad=1 live.
Über diese Simulation
Ein Ford-Kreis ist ein Kreis, der einem gekürzten Bruch p/q zugeordnet ist und die Zahlengerade am Punkt x=p/q tangiert. Sein Mittelpunkt liegt bei (p/q, 1/(2q²)) und sein Radius beträgt ebenfalls 1/(2q²), sodass kleinere Nenner größere Kreise und größere Nenner Kreise erzeugen, die sich immer enger an die Linie schmiegen.
🔬 Was gezeigt wird
Die Farey-Folge Fn ist die Liste aller gekürzten Brüche p/q mit 0≤p/q≤1 und Nenner q höchstens n, in aufsteigender Reihenfolge angeordnet. Mit wachsendem n drängen sich neue Brüche zwischen die bestehenden.
🎮 Bedienung
Ziehen Sie den Farey-Ordnungsregler, starten Sie die Mediant-Konstruktionsanimation, schalten Sie Beschriftungen um und zoomen/verschieben Sie die Zahlengerade, um die Kreise im Detail zu erkunden.
💡 Wussten Sie schon?
Die Verfolgung der Kette von Ford-Kreisen, die zu einem Bruch führen, zeichnet dessen Kettenbruchentwicklung Ziffer für Ziffer nach — die Grundlage der diophantischen Approximationstheorie.
Häufig gestellte Fragen
Was ist ein Ford-Kreis?
Ein Ford-Kreis ist ein Kreis, der einem gekürzten Bruch p/q zugeordnet ist und die Zahlengerade am Punkt x=p/q tangiert. Sein Mittelpunkt liegt bei (p/q, 1/(2q²)) und sein Radius beträgt ebenfalls 1/(2q²), sodass kleinere Nenner größere Kreise und größere Nenner Kreise erzeugen, die sich immer enger an die Linie schmiegen.
Was ist die Farey-Folge?
Die Farey-Folge Fn ist die Liste aller gekürzten Brüche p/q mit 0≤p/q≤1 und Nenner q höchstens n, in aufsteigender Reihenfolge angeordnet. Mit wachsendem n drängen sich neue Brüche zwischen die bestehenden, und Fn enthält genau 1+φ(1)+φ(2)+…+φ(n) Terme, wobei φ die Eulersche Phi-Funktion ist.
Warum überlappen sich Ford-Kreise nie?
Zwei Ford-Kreise für Brüche a/b und c/d sind entweder tangential zueinander oder völlig disjunkt — sie können sich nie schneiden. Der quadrierte Abstand zwischen ihren Mittelpunkten entspricht genau der quadrierten Summe ihrer Radien, wenn |bc−ad|=1 gilt, und ist andernfalls strikt größer, sodass sich die Kreise an genau einem Punkt berühren, aber nie an zwei Punkten schneiden können.
Was ist ein Mediant und warum ist er wichtig?
Der Mediant zweier Brüche a/b und c/d ist (a+c)/(b+d). Für zwei benachbarte Brüche in einer Farey-Folge ist der Mediant der einfachste neue Bruch, der strikt zwischen ihnen liegt, und genau der Bruch, der erscheint, sobald die Farey-Ordnung n groß genug wächst, um den Nenner b+d einzuschließen. Dieser Mediant-Einfügeprozess ist, wie die gesamte Farey-Folge — und die gesamte Familie der Ford-Kreise — Schritt für Schritt aufgebaut werden kann.
Wie hängen Ford-Kreise mit Kettenbrüchen und dem Stern-Brocot-Baum zusammen?
Der Stern-Brocot-Baum wird durch denselben Mediant-Prozess wie die Farey-Folge aufgebaut, und die Position jeder rationalen Zahl in diesem Baum entspricht genau ihrer Kettenbruchentwicklung. Die Verfolgung der Kette von Ford-Kreisen, die zu einem Bruch führen, zeichnet dessen Kettenbruch Ziffer für Ziffer nach, und die Geschwindigkeit, mit der die Kreise dabei schrumpfen, spiegelt wider, wie gut dieser Bruch durch einfachere rationale Zahlen approximiert werden kann — die Grundlage der diophantischen Approximationstheorie.