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Polski↗️ Eigenwerte — Lineare Transformationen & Hauptachsen
Bearbeite eine 2x2-Matrix und beobachte, wie sie den Einheitskreis in eine Ellipse verwandelt: Eigenvektoren zeigen entlang der Hauptachsen (unverändert in der Richtung), während Eigenwerte die Streckfaktoren angeben.
Über diese Simulation
Eigenwerte und Eigenvektoren sind grundlegend für die lineare Algebra: Gegeben eine quadratische Matrix A, ist ein Eigenvektor v ein von null verschiedener Vektor, der Av = λv erfüllt, wobei der Skalar λ sein Eigenwert ist. Das bedeutet, die Transformation streckt oder staucht v nur — sie dreht ihn nie von seiner ursprünglichen Linie weg. Die Eigenzerlegung bildet die Grundlage für Dimensionsreduktion (PCA), Googles PageRank-Algorithmus, quantenmechanische Observablen und Schwingungsanalysen im Ingenieurwesen.
🔬 Was gezeigt wird
Rote und blaue Pfeile markieren die beiden Eigenvektoren, und das HUD zeigt Spur, Determinante und beide Eigenwerte (real oder komplex), während du die Regler ziehst.
🎮 Bedienung
Nutze Matrix-Voreinstellungen (Identität, Streckung X, Symmetrisch, Scherung, Rotation 45°, Defekt, Zwei λ) oder ziehe Regler für die Matrixeinträge.
💡 Wusstest du schon?
Wenn die Diskriminante tr(A)² − 4·det(A) negativ ist, sind die Eigenwerte komplex-konjugiert, und die Transformation enthält eine Rotationskomponente.
Häufig gestellte Fragen
Was ist ein Eigenwert einer Matrix?
Ein Eigenwert λ einer Matrix A ist ein Skalar, für den ein von null verschiedener Vektor v mit Av = λv existiert. Das bedeutet, die Matrix streckt oder spiegelt v nur — sie ändert seine Richtung nicht.
Was ist ein Eigenvektor?
Ein Eigenvektor ist ein von null verschiedener Vektor v, der Av = λv für einen Skalar λ erfüllt. Bei Anwendung einer Matrixtransformation bleiben Eigenvektoren auf derselben Linie durch den Ursprung.
Wie berechnet man die Eigenwerte einer 2×2-Matrix?
Für eine 2×2-Matrix A löse die charakteristische Gleichung det(A − λI) = 0, die sich zu λ² − tr(A)·λ + det(A) = 0 entwickelt. Diese quadratische Gleichung liefert zwei Eigenwerte über die Mitternachtsformel.
Was passiert mit dem Einheitskreis unter einer 2×2-Matrixtransformation?
Eine 2×2-Matrix bildet den Einheitskreis auf eine Ellipse ab. Bei symmetrischen Matrizen richten sich die Achsen der Ellipse an den Eigenvektoren aus, und ihre Längen entsprechen den absoluten Eigenwerten.
Was sind komplexe Eigenwerte, und was bedeuten sie geometrisch?
Wenn die Diskriminante tr(A)² − 4·det(A) < 0 ist, sind die Eigenwerte komplex-konjugiert λ = α ± βi. Geometrisch bedeutet dies, dass die Transformation eine Rotationskomponente hat — es existieren keine reellen Eigenvektoren.
Wie hängen Eigenwerte mit Determinante und Spur zusammen?
Für jede quadratische Matrix entspricht das Produkt aller Eigenwerte der Determinante, und die Summe aller Eigenwerte entspricht der Spur. Für eine 2×2-Matrix: λ₁·λ₂ = det(A) und λ₁ + λ₂ = tr(A).