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Polski🎲 Würfel & Wahrscheinlichkeit
Interaktiver Würfelwahrscheinlichkeits-Simulator: Würfeln Sie n Würfel mit s Seiten und beobachten Sie, wie die Summenverteilung gegen eine Gaußkurve konvergiert (zentraler Grenzwertsatz). Vergleichen Sie die exakte theoretische PMF mit dem empirischen Histogramm, plus Casino-Wettquoten und Erwartungswerte.
Über diese Simulation
Dieser Simulator berechnet die Wahrscheinlichkeit jeder möglichen Summe, wenn Sie n Würfel mit s Seiten würfeln. Er zeichnet die exakte theoretische Verteilung, ein empirisches Histogramm aus simulierten Würfen und eine passende Gaußkurve, sodass Sie Theorie und Experiment direkt nebeneinander vergleichen können.
🔬 Was gezeigt wird
Die exakte Wahrscheinlichkeitsverteilung der Summe von n Würfeln mit s Seiten, ein Live-Histogramm aus tatsächlich simulierten Würfen und eine angepasste Gaußkurve zum direkten Vergleich.
🎮 Bedienung
Stellen Sie die Anzahl der Würfel n und die Seitenzahl s ein, würfeln Sie tausende Male, und beobachten Sie, wie sich Mittelwert und Varianz des empirischen Histogramms den theoretischen Werten annähern.
💡 Wussten Sie schon?
Bei zwei gewöhnlichen sechsseitigen Würfeln ist die 7 die wahrscheinlichste Summe, weil sie auf sechs verschiedene Arten zustande kommen kann (1+6, 2+5, 3+4 und deren Umkehrungen) — mehr als jede andere Summe.
Häufig gestellte Fragen
Was berechnet dieser Simulator eigentlich?
Er berechnet die Wahrscheinlichkeit jeder möglichen Gesamtsumme, wenn Sie n Würfel mit s Seiten würfeln. Er zeichnet die exakte theoretische Verteilung, ein empirisches Histogramm aus simulierten Würfen und eine passende Gaußkurve, sodass Sie Theorie und Experiment direkt nebeneinander vergleichen können.
Was ist Mittelwert und Varianz der Summe?
Ein einzelner fairer Würfel hat den Mittelwert (s+1)/2 und die Varianz (s²-1)/12. Durch Linearität hat die Summe von n Würfeln den Mittelwert n·(s+1)/2 und die Varianz n·(s²-1)/12. Für zwei gewöhnliche sechsseitige Würfel ergibt das einen Mittelwert von 7 und eine Varianz von etwa 5,83.
Wie wird die exakte Verteilung berechnet?
Die Verteilung eines einzelnen Würfels ist über seine Seiten gleichverteilt. Der Simulator faltet sie wiederholt mit sich selbst, einmal für jeden zusätzlichen Würfel, indem er zählt, wie viele Seitenkombinationen jede Summe ergeben. Division durch s hoch n verwandelt diese Zählungen in Wahrscheinlichkeiten und liefert die präzise Wahrscheinlichkeitsfunktion ohne Näherung.
Warum wird die Verteilung glockenförmig?
Das ist der zentrale Grenzwertsatz in Aktion. Addiert man viele unabhängige, identisch verteilte Zufallsvariablen, tendiert ihre Summe unabhängig von der ursprünglichen Form gegen eine Normalverteilung. Selbst bei einer flachen Einzelwürfelverteilung erzeugt die Summe mehrerer Würfel eine zunehmend symmetrische Glockenkurve.