〰️ Gekoppelte Oszillatoren — Normalmoden und Schwebung

Sie zeigt zwei Massen, die durch Federn mit festen Wänden und miteinander verbunden sind, wobei ihre Auslenkungen oben in Echtzeit gezeichnet und unten als Wellenformen dargestellt werden. Sie können reine Normalmoden oder einen Schwebungszustand anregen und die Energieübertragung zwischen den beiden Massen beobachten.

Eine Normalmode ist ein Bewegungsmuster, bei dem jeder Teil des Systems mit einer einzigen gemeinsamen Frequenz oszilliert. Ein Zwei-Massen-System hat zwei solche Moden, und jede allgemeine Bewegung ist eine Überlagerung von ihnen. Wird eine Mode angeregt, bleibt das System (abgesehen von Dämpfung) unbegrenzt in dieser Mode.

In der symmetrischen Mode bewegen sich beide Massen in dieselbe Richtung, sodass die Kopplungsfeder nie gedehnt wird und die Frequenz ω₋ niedriger ist. In der antisymmetrischen Mode bewegen sie sich entgegengesetzt, dehnen die Kopplungsfeder stark, was die Frequenz ω₊ erhöht.

Feder k₁ und k₂ legen die Steifigkeit der Federn fest, die jede Masse mit ihrer Wand verbinden (0,1 bis 5). Kopplung κ legt die Stärke der Feder zwischen den Massen fest (0,01 bis 3). Masse m₁ und m₂ legen die beiden Massen fest (0,2 bis 5), und Dämpfung γ steuert den Energieverlust (0 bis 0,15).

Schwebung tritt auf, wenn nur eine Masse anfangs ausgelenkt startet und dadurch beide Moden gleichzeitig anregt. Da sich ihre Frequenzen leicht unterscheiden, driften sie in und aus der Phase, sodass die Amplitude jeder Masse anschwillt und abklingt. Energie schwappt über eine Schwebungsperiode vollständig von einer Masse zur anderen und zurück.

Die Schwebungsperiode ist 2π geteilt durch die Differenz der beiden Modenfrequenzen, ω₊ minus ω₋. Ist die Kopplung κ schwach, liegen die beiden Frequenzen nah beieinander, die Differenz ist klein, und die Schwebungsperiode wird lang; starke Kopplung verkürzt sie.

Die Bewegungsgleichungen werden mit einer symplektischen Methode getreu integriert, die die Energie über lange Läufe gut erhält. Die angezeigten Modenfrequenzen verwenden eine vereinfachte Formel für gleiche Massen, sodass bei stark ungleichen Massen oder Federn die beschrifteten ω-Werte näherungsweise sind, während die zugrunde liegende Bewegung korrekt bleibt.

Dämpfung γ fügt eine zur Geschwindigkeit jeder Masse proportionale Kraft hinzu, die dem System kinetische Energie entzieht. Bei einer Dämpfung über null klingen die Schwingungen allmählich ab, und die Gesamtenergie-Anzeige fällt gegen null. Setzen Sie sie auf null, um ideale, ungedämpfte Bewegung und saubere Schwebung zu beobachten.

Atome in einem Molekül verhalten sich wie Massen an Federn, und ihre kollektiven Schwingungen sind Normalmoden. Die antisymmetrische Streckschwingung von Kohlendioxid trägt ein oszillierendes Dipolmoment, das Infrarotlicht absorbiert — genau deshalb ist CO₂ ein Treibhausgas.

Sie treten überall in Physik und Technik auf: Phononen in Kristallgittern, gekoppelte Pendel, die Synchronisation von Metronomen, Schwingungen in Brücken und Gebäuden, sowie resonante LC-Schaltkreise. Quantenanaloga umfassen Neutrino-Oszillationen, bei denen die Mischung von Massenzuständen die hier gezeigte Schwebung widerspiegelt.

Bei einer Dämpfung γ von null ist das System konservativ, sodass kinetische plus elastische potenzielle Energie erhalten bleibt. Der hier verwendete symplektische Integrator ist so konzipiert, dass diese Gesamtenergie über lange Simulationen nahezu konstant bleibt, weshalb die Energieanzeige selbst nach vielen Schwingungen kaum abweicht.