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Polski🔢 Collatz-Vermutung — 3n+1-Problem-Visualisierung
Erkunden Sie die ungelöste Collatz-Vermutung (3n+1-Problem). Visualisieren Sie Hagelkorn-Sequenzen, eine Heatmap der Stoppzeiten und den Collatz-Baum. Erreicht jede Zahl irgendwann die 1?
Über diese Simulation
Die Collatz-Vermutung — auch 3n+1-Problem genannt — ist eines der berühmtesten ungelösten Probleme der Mathematik. Verfolgen Sie einzelne Hagelkorn-Pfade, vergleichen Sie Stoppzeiten über eine Heatmap und erkunden Sie den Konvergenzbaum.
🔬 Was wird gezeigt
Ausgehend von jeder positiven ganzen Zahl wenden Sie wiederholt eine einfache Regel an: Ist die Zahl gerade, teilen Sie sie durch 2; ist sie ungerade, multiplizieren Sie mit 3 und addieren 1. Die entstehende Folge, Hagelkorn-Sequenz genannt, scheint immer die 1 zu erreichen, doch dies wurde nie für alle positiven ganzen Zahlen bewiesen.
🎮 Anwendung
Diese Visualisierung lässt Sie einzelne Hagelkorn-Pfade verfolgen, Stoppzeiten über Hunderte von Zahlen per Heatmap vergleichen und den Konvergenzbaum erkunden, der zeigt, welche Zahlen zur 1 führen.
💡 Wussten Sie schon?
Die Vermutung wurde um 1937 erstmals von Lothar Collatz untersucht und zog seither viele führende Mathematiker an, darunter Paul Erdős, der angeblich sagte: „Die Mathematik ist noch nicht bereit für solche Probleme.“
Häufig gestellte Fragen
Was ist die Collatz-Vermutung?
Die Collatz-Vermutung besagt, dass für jede positive ganze Zahl n das wiederholte Anwenden der Regel n/2 (falls n gerade) oder 3n+1 (falls n ungerade) irgendwann den Wert 1 ergibt. Die dabei entstehende Zahlenfolge heißt Hagelkorn-Sequenz, weil die Werte unregelmäßig steigen und fallen, bevor sie auf 1 abstürzen. Obwohl sie rechnerisch für alle Zahlen bis etwa 2 hoch 68 verifiziert wurde, bleibt die Vermutung allgemein unbewiesen.
Wie benutze ich diese Simulation?
Geben Sie eine Startzahl ins Eingabefeld ein oder ziehen Sie den Regler, dann verfolgt die Sequenz-Ansicht den vollständigen Hagelkorn-Pfad in einem logarithmischen Diagramm. Nutzen Sie den Animieren-Button, um den Pfad Bild für Bild durchzugehen. Wechseln Sie zum Heatmap-Tab, um Stoppzeiten für alle Zahlen bis zu Ihrem gewählten Bereich zu sehen, farbcodiert von Blau (kurz) bis Rot (lang). Der Baum-Tab zeigt den umgekehrten Collatz-Baum.
Warum steigt die Folge für n=27 so hoch, bevor sie fällt?
Ausgehend von 27 erreicht die Folge einen Höchstwert von 9.232, bevor sie nach 111 Schritten schließlich auf 1 fällt — ein dramatischer Ausschlag für eine so kleine Startzahl. Dies geschieht, weil die 3n+1-Regel bei ungeraden Zahlen Werte vorübergehend weit über den ursprünglichen Eingabewert verstärken kann, während die n/2-Halbierungen sie langsam wieder herunterbringen.