🌹 Spirograph — Hypotrochoiden & Epitrochoiden

Eine Hypotrochoide wird von einem Kreis gezeichnet, der innerhalb eines festen Rings rollt, mit x(t) = (R−r)cos(t) + d·cos((R−r)/r·t) und y(t) = (R−r)sin(t) − d·sin((R−r)/r·t). Eine Epitrochoide wird von einem Kreis gezeichnet, der außerhalb eines festen Kreises rollt, mit derselben Form, aber mit Pluszeichen: x(t) = (R+r)cos(t) − d·cos((R+r)/r·t). Der Wechsel zwischen beiden ändert, auf welcher Seite von R der rollende Kreis liegt.

Wechseln Sie in den Epitrochoiden-Modus, setzen Sie dann den Rollradius r gleich dem äußeren Radius R und setzen Sie den Stiftversatz d ebenfalls gleich r. Mit r = R und d = r vereinfachen sich die Epitrochoiden-Gleichungen zur klassischen Kardioide, der herzförmigen Kurve, die auch in Mikrofon-Aufnahmecharakteristiken und in der Hauptkardioide der Mandelbrot-Menge vorkommt.

Die Zeichnung wiederholt sich nach einer Periode von 2π·r/ggT(R, r) im Parameter t. Wenn R und r einen großen gemeinsamen Teiler haben, schließt sich die Kurve schnell mit wenigen Schleifen; ist ihr größter gemeinsamer Teiler klein, muss der Stift viele weitere Umläufe zurücklegen, bevor sich das Muster wieder schließt.

Rosenartige Hypotrochoiden entstehen, wenn der Stiftversatz d gleich R − r ist und r ohne Rest in R aufgeht. Die Anzahl der Blütenblätter entspricht dann R/r, wenn dieses Verhältnis ungerade ist, oder dem Doppelten davon, wenn es gerade ist. Probieren Sie R = 120, r = 40 und d = 80 für eine saubere dreiblättrige Rose.

Wenn d größer als r ist, liegt der Stift jenseits des Randes des rollenden Kreises, sodass die gezeichnete Kurve zusätzliche Schleifen bildet, statt glatt zu bleiben. Wenn d gleich r ist, verläuft die Kurve sauber durch das Zentrum des Rollpfads, und wenn d kleiner als r ist, bleibt die gesamte Kurve innerhalb eines schmalen Rings um den Radius R − r.