⭕ Apollonius-Fraktal — Descartes' Kreissatz

⭕ Was es zeigt

Ein Apollonius-Fraktal ist ein Fraktal, das entsteht, indem man mit drei gegenseitig tangentialen Kreisen beginnt und in jede gekrümmte dreieckige Lücke zwischen ihnen fortwährend rekursiv einen neuen Kreis einbeschreibt. Dieser Simulator nutzt den echten Descartes'-Kreissatz, erstmals 1643 von René Descartes formuliert: Für vier beliebige gegenseitig tangentiale Kreise mit den Krümmungen k₁, k₂, k₃, k₄ (Krümmung = 1/Radius, negativ genommen für einen Kreis, der die anderen umschließt), gilt (k₁+k₂+k₃+k₄)² = 2(k₁²+k₂²+k₃²+k₄²). Löst man diese quadratische Gleichung nach der vierten Krümmung bei drei bekannten Kreisen auf, erhält man k₄ = k₁+k₂+k₃ ± 2√(k₁k₂+k₂k₃+k₃k₁), und eine entsprechende komplexzahlige Formel liefert dessen Mittelpunkt. Der Simulator wendet diesen Löser auf jeder Rekursionsstufe an, sodass jeder Kreis, den Sie sehen, eine echte Lösung der Tangentialbedingungen ist, keine Näherung.

Ausgehend von einem großen umschließenden Kreis und zwei inneren Kreisen erzeugt jede neue Lücke ein frisches Tripel gegenseitig tangentialer Kreise, und der Satz wird erneut angewendet — Krümmungen wachsen rasch, und Radien schrumpfen mit zunehmender Rekursion gegen null, was das selbstähnliche Gitter schrumpfender Kreise erzeugt, das dem Fraktal seine charakteristische Struktur verleiht.

Bedienung

• Stellen Sie den Tiefenregler (0–6) ein, um zu steuern, wie viele rekursive Kreisgenerationen berechnet und gezeichnet werden — höhere Tiefen sind aus Leistungsgründen begrenzt, da die Kreiszahl exponentiell wächst.
• Schalten Sie Nach Krümmung färben um, um zwischen Färbung nach Rekursionstiefe und nach Krümmungsbetrag zu wechseln.
• Aktivieren Sie Krümmungszahlen anzeigen, um den berechneten Krümmungswert auf hinreichend großen Kreisen anzuzeigen.
• Klicken Sie auf Zufall, um die beiden anfänglichen inneren Kreisradien zu variieren und ein anderes Fraktal-Layout zu erzeugen.

Wussten Sie schon?

Sind die vier Startkrümmungen eines Apollonius-Fraktals allesamt ganze Zahlen, hat auch jeder einzelne Kreis im gesamten unendlichen Fraktal eine ganzzahlige Krümmung — eine bemerkenswerte Tatsache, die mit der Arithmetik quadratischer Formen und moderner Zahlentheorie zusammenhängt. Die klassischen (0, 0, 1, 1) und (−1, 2, 2, 3) „ganzzahligen Apollonius-Fraktale" wurden ausgiebig auf die Zahlenmuster hin untersucht, die unter ihren Krümmungen auftreten, und Apollonius- Kreispackungen erscheinen auch in der antiken griechischen Geometrie — Apollonius von Perge löste um 200 v. Chr. das allgemeine Tangentialkreisproblem, lange bevor die fraktale Interpretation verstanden wurde.

Über diese Simulation

Dieser Simulator baut ein echtes Apollonius-Fraktal, indem er auf jeder Rekursionsstufe den Descartes'-Kreissatz löst. Ausgehend von einem großen Begrenzungskreis und zwei inneren Kreisen wird jedes Tripel gegenseitig tangentialer Kreise in die Formel des Satzes eingespeist, um die exakte Krümmung und den Mittelpunkt des Kreises zu berechnen, der in die verbleibende Lücke passt — keine feste Nachschlagetabelle, keine Näherung, nur die echten Tangentialgleichungen live gelöst.

Häufig gestellte Fragen