p1 · p2 · pm · pg · cm · pmm · p4 · p6 — усі 17 груп шпалер, 8 із них представлено тут наживо
Група шпалер — це математична класифікація всіх можливих способів періодично повторювати візерунок на плоскій площині за допомогою комбінацій трансляцій, обертань, віддзеркалень та ковзних віддзеркалень (віддзеркалення в поєднанні зі зсувною трансляцією). Дивовижно, але математики довели, що існує рівно 17 окремих груп шпалер — не більше і не менше — які можуть існувати у двох вимірах. Кожні періодичні шпалери, візерунок тканини чи підлогова мозаїка на Землі належать до однієї з них.
Цей симулятор будує кожен візерунок із реальних операцій симетрії: навмисно асиметричний мотив (щоб дзеркала та обертання були візуально очевидними) розміщується в «загальній» точці, потім обчислюється повна орбіта цієї точки під дією генераторів обертання та віддзеркалення групи, а отриманий кластер вкриває полотно за допомогою трансляційної ґратки групи — квадратної для більшості показаних тут груп, гексагональної для p6.
17 груп шпалер було повністю математично каталогізовано у 1891 році російським кристалографом Євграфом Федоровим, але ремісники використовували майже всі з них за століття до цього — геометрична плиткова робота в палаці Альгамбра в Гранаді, Іспанія, відома тим, що містить приклади більшості з 17 груп, створені майстрами без формальної теорії груп. Теселяційні гравюри М. К. Ешера були безпосередньо натхненні вивченням цих мавританських візерунків. Кристали в природі обмежені пов'язаним, але окремим набором симетрій (230 тривимірних просторових груп) з тих самих фундаментальних математичних причин.
Цей симулятор малює навмисно асиметричний мотив у формі прапорця за допомогою реальних команд контурів canvas, потім обчислює його повну орбіту під дією генераторів обертання та віддзеркалення обраної групи шпалер, перш ніж укрити цим кластером усю площину за допомогою трансляційної ґратки групи.
Кожна група визначається явними генераторними операціями — обертанням навколо центру комірки ґратки, віддзеркаленням відносно дзеркальної лінії або ковзним віддзеркаленням (дзеркало плюс зсув на половину вектора ґратки) — застосованими до однієї загальної точки, що дає правильний локальний кластер мотиву, який потім транслюється по всьому полотну.
Оберіть одну з восьми реалізованих груп у випадному списку; її нотація та короткий опис з'являться під селектором. Налаштуйте розмір мотиву та крок сітки, а також увімкніть колір за позицією в орбіті, щоб побачити, які копії належать до однієї орбіти симетрії.
У площині може існувати лише 17 окремих груп шпалер — факт, строго доведений у XIX столітті, хоча мавританські майстри в Альгамбрі вже створили приклади майже всіх із них за століття до цього, керуючись лише інтуїцією та майстерністю.
Теорема кристалографічного обмеження визначає, які порядки обертання (1, 2, 3, 4 та 6-кратні) сумісні з періодичною трансляційною ґраткою — 5-кратні та порядки вище 6 не можуть періодично вкрити площину. Поєднання дозволених обертань із віддзеркаленнями та ковзними віддзеркаленнями у кожен окремий спосіб дає рівно 17 можливих класів симетрії, повноту яких було доведено у XIX столітті.
Ковзне віддзеркалення поєднує дзеркальне віддзеркалення з трансляцією, паралельною лінії дзеркала. Жодна з операцій окремо не створює візерунок, характерний для групи pg, — лише їхня комбінація, тому pg виглядає дещо інакше, ніж проста дзеркальна група, така як pm.
Симетричний мотив (наприклад, простий круг) приховав би ефекти віддзеркалень і ковзних віддзеркалень, оскільки віддзеркалений круг виглядає ідентично до оригіналу. Форма прапорця тут не має власної симетрії, тож кожне дзеркало, обертання та ковзання у візерунку помітні на самій формі.
Центрована ґратка має додаткову точку ґратки в середині кожної елементарної комірки на додачу до кутів. Поєднання дзеркальної лінії з цією центрувальною трансляцією автоматично породжує й ковзні віддзеркалення, тому cm містить і дзеркальну, і ковзну симетрію без окремого генератора ковзання.
Так, і дуже широко. Ісламське геометричне мистецтво, особливо в таких місцях, як Альгамбра, систематично досліджувало майже всі 17 груп за століття до їх математичної класифікації. Дизайнери тканин, шпалер і плитки й сьогодні описують свої повторювані візерунки за допомогою цієї ж класифікації.