Досліджуйте безперервну ізометричну сім'ю згинань, яка перетворює катеноїд на гелікоїд, жодного разу не розтягуючи поверхню. Кожна проміжна поверхня має нульову середню кривизну скрізь — таку саму умову задовольняє мильна плівка.
Цей інструмент відтворює ізометричну сім'ю згинань, що пов'язує катеноїд — поверхню найменшої площі між двома співвісними кільцями — з гелікоїдом — спіральною рампою, яку описує пряма лінія, що обертається, піднімаючись. Обидві поверхні — і кожна проміжна між ними — мають нульову середню кривизну скрізь, визначальну властивість мінімальної поверхні та форму, яку природно набуває мильна плівка. Перетягуйте повзунок кута згину, щоб побачити, як одна поверхня плавно перетворюється на іншу.
Параметрична поверхня X(u,v,θ)=cosθ·Катеноїд(u,v)+sinθ·Гелікоїд(u,v), де Катеноїд(u,v)=(cosh v cos u, cosh v sin u, v), а Гелікоїд(u,v)=(sinh v cos u, sinh v sin u, u). При будь-якому куті θ отримана поверхня є мінімальною (нульова середня кривизна), а деформація від θ=0° до θ=90° є ізометричною — відстані, виміряні вздовж поверхні, ніколи не змінюються.
Перетягуйте повзунок кута згину, щоб перетворювати катеноїд на гелікоїд, або натисніть «Автоанімація», щоб вона коливалася автоматично. Роздільна здатність сітки визначає деталізацію вибірки поверхні, «Каркас» показує базову сітку, а «Автообертання» обертає камеру. «Скинути» повертає все до початкового катеноїда.
Катеноїд і гелікоїд були першими двома мінімальними поверхнями, коли-небудь відкритими — їх знайшли Ейлер і Мьоньє у XVIII столітті, більш ніж за століття до того, як математики довели, що вони належать до однієї безперервної сім'ї згинань.
Мінімальна поверхня — це поверхня з нульовою середньою кривизною в кожній точці, що робить її локальним мінімумом площі для межі, яку вона натягує. Мильні плівки природно утворюють мінімальні поверхні, бо поверхневий натяг тягне їх до найменшої можливої площі. Площина, катеноїд і гелікоїд — класичні приклади.
Катеноїд і гелікоїд локально ізометричні: існує безперервна сім'я поверхонь, що з'єднує їх, у якій відстані, виміряні вздовж поверхні, ніколи не змінюються, навіть попри те, що форма поверхні в тривимірному просторі змінюється кардинально. Ця сім'я згинань параметризується кутом θ, який використовується в цій симуляції, і кожна поверхня в сім'ї залишається мінімальною.
u і v — це дві координати, що описують поверхню. u зазвичай пробігає повне коло (від 0 до 2π) і визначає кутове положення навколо осі поверхні, тоді як v — обмежений параметр, що визначає, наскільки далеко поверхня простягається від своєї «талії» чи ядра. Кожна пара (u,v) відображається у тривимірну точку на поверхні за параметричними формулами.
На відміну від каркасної кривої, мінімальна поверхня — це заповнена сітка трикутників, тому їй потрібне джерело світла і затінений матеріал, щоб показати її кривизну. Ця симуляція додає навколишнє й напрямлене освітлення та двосторонній матеріал, щоб поверхня виглядала правильно з будь-якого кута камери, включно з видом знизу чи зсередини складки.
Так. Вона обчислює точні параметричні рівняння катеноїда й гелікоїда та поєднує їх формулою згинання cosθ/sinθ замість наближення, тож поверхня, показана під будь-яким кутом, є справжньою мінімальною поверхнею з нульовою середньою кривизною, а не просто візуальною інтерполяцією.