Обертові многогранники · Живі підрахунки вершин/ребер/граней · Поверхні роду g
Формула Ейлера стверджує, що для будь-якого опуклого многогранника кількість вершин мінус кількість ребер плюс кількість граней завжди дорівнює 2: V − E + F = 2. Це виконується для тетраедра (4 − 6 + 4 = 2), куба (8 − 12 + 6 = 2) та будь-якого іншого однозв'язного многогранника, незалежно від кількості граней чи їхньої форми — це топологічний інваріант, на який не впливають розтягування, згинання чи точна геометрія, лише базова зв'язність.
Величина χ = V − E + F називається характеристикою Ейлера, і вона узагальнюється далеко за межі многогранників: вона класифікує замкнені поверхні за їхнім родом g (кількістю "ручок" або отворів) через формулу χ = 2 − 2g. Сфера (g = 0) має χ = 2; тор/бублик (g = 1) має χ = 0; поверхня з двома отворами (g = 2) має χ = −2. Це перетворює суто комбінаторний підрахунок на потужний інструмент для розрізнення принципово різних форм.
Формула Ейлера, опублікована Леонардом Ейлером у 1758 році, була одним із перших результатів у тому, що стало топологією — вивченням властивостей, що зберігаються під час неперервної деформації. Вона пояснює, чому існує рівно п'ять Платонових тіл (обмеження V − E + F = 2 у поєднанні з регулярністю залишає лише п'ять допустимих комбінацій), а її узагальнення, характеристика Ейлера, лежить в основі класифікації всіх замкнених поверхонь, сучасних алгоритмів обробки полігональних сіток у комп'ютерній графіці й навіть теорем типу Гаусса–Бонне, що пов'язують кривину з топологією.
Цей симулятор рендерить вісім опуклих многогранників як обертові каркаси, використовуючи власноруч написану проекцію з 3D у 2D, підраховуючи для кожної фігури кількість вершин, ребер (отриманих дедублікацією граничних сегментів кожної грані) та граней, щоб обчислити живу характеристику Ейлера χ = V − E + F. Дев'ятий режим показує схематичну поверхню роду g, де χ = 2 − 2g.
Координати вершин і списки вершин граней кожного тіла задані точно (додекаедр породжується як справжній геометричний двоїстий многогранник ікосаедра, а зрізаний куб — за стандартною конструкцією зрізання вершин). Ребра автоматично виводяться з граней, тож V, E та F — це справжні підрахунки, а не жорстко закодовані числа.
Виберіть фігуру зі спадного списку. Перетягніть полотно, щоб обертати вручну, або увімкніть Автообертання і налаштуйте Швидкість. У режимі Поверхні роду g рухайте повзунок Кількість ручок від 0 до 5, щоб побачити, як схематична діаграма набуває ручок, а χ = 2 − 2g змінюється з 2 до −8.
Обмеження V − E + F = 2 у поєднанні з вимогою, щоб кожна грань і вершина виглядали однаково, обмежує правильні опуклі многогранники рівно п'ятьма можливостями — Платоновими тілами, відомими з давнини.
Тому що будь-який опуклий многогранник топологічно еквівалентний сфері: його поверхню можна надути в кулю, не розриваючи. Ейлер довів, що будь-який спосіб поділу поверхні сфери на многокутники (вершини, ребра, грані) завжди задовольняє V − E + F = 2, незалежно від конкретних використаних форм.
Замість жорсткого кодування координат із золотим перетином симулятор спочатку будує ікосаедр, а потім обчислює його геометричний двоїстий многогранник: кожна вершина додекаедра — це центроїд грані ікосаедра, а кожна грань додекаедра відповідає вершині ікосаедра, з ребрами, впорядкованими за кутом навколо цієї вершини.
Тор (форма бублика) топологічно не є сферою — він має одну ручку, або рід 1 — тому його характеристика Ейлера дорівнює χ = 2 − 2(1) = 0. Будь-яка полігональна сітка, накреслена на поверхні тора, задовольнятиме V − E + F = 0, а не 2, незалежно від того, як вона поділена.
Кожен із 8 кутів куба зрізається невеликою площиною, перетворюючи кожен кут на трикутник, а кожну квадратну грань — на восьмикутник. Симулятор розміщує зрізані вершини в (±ξ, ±1, ±1) та перестановках, де ξ = √2 − 1, а потім реконструює 8 трикутних і 6 восьмикутних граней із цих даних вершин.
Оскільки χ є топологічним інваріантом, вона дозволяє математикам розрізняти поверхні без вимірювання кутів чи довжин — сфера, тор і подвійний тор мають різні значення χ (2, 0, −2) незалежно від того, як їх розтягують чи згинають, що робить χ фундаментальним інструментом у топології, аналізі полігональних сіток у комп'ютерній графіці та теоретичній фізиці.