Оптимізація перехрестя: теорія черг і налаштування світлофора

Q: Чому розподіл Пуассона використовують для моделювання прибуття автомобілів?

Прибуття автомобілів на ізольоване перехрестя добре описується розподілом Пуассона, коли рух легкий чи помірний і транспортні засоби прибувають незалежно. Модель Пуассона припускає сталу середню інтенсивність прибуття (лямбда, авто за секунду) і дає ймовірність точно k прибуттів за будь-який інтервал t як P(k) = (лямбда*t)^k * e^(−лямбда*t) / k!. За великих об'ємів або поблизу попередніх світлофорів прибуття стають структурованими в колони, і точнішим є біноміальний чи Ерланговий розподіл.

Q: Що таке рівень обслуговування (LOS) на світлофорному перехресті?

Рівень обслуговування — це літерна оцінка від A до F, що узагальнює досвід водія на основі середньої затримки керування на одне транспортне засіб у секундах. LOS A означає затримку менше 10 секунд (відмінно); LOS F означає затримку понад 80 секунд (відмова — черги ростуть необмежено). Highway Capacity Manual (HCM) визначає пороги і є стандартним довідником, який використовують транспортні органи у США, Великій Британії та багатьох інших країнах.

Q: Що таке потік насичення і чому він важливий?

Потік насичення (s) — це максимальна швидкість, з якою автомобілі з черги можуть проходити стоп-лінію під час зеленої фази, виражена в авто за годину зеленого (vphg). Стандартна смуга має потік насичення близько 1 800–1 900 vphg за ідеальних умов. Він знижується через такі чинники, як ширина смуги, важкі транспортні засоби, повороти та конфлікти з пішоходами. Ступінь насичення x = q / (s * g/C) визначає, наскільки близько смуга до пропускної здатності; x більше за 1,0 означає, що смуга перенасичена.

3D-симуляції

🚦 Транспорт · Теорія черг

📅 Червень 2026⏱ 14 хв🟡 Середній рівень · Останнє оновлення: 3 липня 2026 р.

Кожне червоне світло — це мініатюрна система черг. Інженери використовують математичні моделі — пуассонівські прибуття, формулу Вебстера та оцінки рівня обслуговування — щоб мінімізувати сумарний час, який водії проводять у очікуванні. Розуміння цих моделей пояснює, чому світлофори поводяться саме так, і чому невеликі помилки в налаштуванні часу можуть вилитися в загальноміський затор.

Автор: Команда MySimulator · Редакційна перевірка: Редакція MySimulator

1. Теорія черг на перехресті

Світлофорне перехрестя — це хрестоматійний приклад системи черг типу D/D/1 або M/D/1: транспортні засоби (клієнти) прибувають до стоп-лінії, чекають у черзі й обслуговуються (роз'їжджаються) під час зеленої фази зі скінченною швидкістю. Дисципліна теорії черг, започаткована датським інженером Агнером Краруп Ерлангом у 1909 році для телефонних станцій, застосовна безпосередньо до транспортного потоку.

Три величини визначають поведінку системи:

Інтенсивність прибуття (q): Середня кількість автомобілів, що прибувають за одиницю часу, зазвичай виражена в авто за годину (vph) або авто за секунду.
Інтенсивність обслуговування (s): Максимальна швидкість, з якою автомобілі з черги можуть від'їжджати під час зеленої фази — потік насичення, близько 1 800 авто за годину зеленого (vphg) для стандартної смуги шириною 3,65 м.
Налаштування світлофора: Частка часу, протягом якого смуга отримує зелене (ефективне відношення зеленого g/C), що діє як дросель доступної ефективної інтенсивності обслуговування.

Коли інтенсивність прибуття перевищує ефективну інтенсивність обслуговування — тобто коли q > s(g/C) — черга росте необмежено. Кажуть, що перехрестя перенасичене. Мета оптимізації світлофора — запобігти цьому стану, мінімізуючи середню затримку на всіх під'їздах.

Історична примітка: Звіт Вебстера 1958 року Лабораторії дорожніх досліджень «Traffic Signal Settings» (Technical Paper No. 39) вивів формулу оптимальної тривалості циклу, що залишається стандартною практикою в більшості країн і через сімдесят років. Її було підтверджено симуляцією та польовими даними, і вона є одним із найдовговічніших результатів прикладного дослідження операцій.

2. Пуассонівська модель прибуття

На дорозі, де автомобілі рухаються незалежно і немає попереднього світлофора, що утворює колони, прибуття на перехрестя описуються пуассонівським процесом. Це означає, що кількість автомобілів, які прибувають за будь-який інтервал довжиною t, має ймовірність:

P(k прибуттів за час t) = (λt)^k \cdot e^(-λt) / k! де: λ = середня інтенсивність прибуття (авто за секунду) k = 0, 1, 2, \dots (кількість прибуттів) e = число Ейлера \approx 2,718 Середня кількість прибуттів за інтервал t: E[k] = λt Дисперсія: Var[k] = λt (дорівнює середньому) Приклад: λ = 0,3 авто/с (1080 vph), t = 5 с P(0) = e^(-1,5) \approx 0,223 (22,3% ймовірності відсутності прибуттів за 5 с) P(1) = 1,5 \cdot e^(-1,5) \approx 0,335 P(2) = (1,5²/2) \cdot e^(-1,5) \approx 0,251

Пуассонівське припущення добре працює для ізольованих перехресть з відношеннями v/c (об'єм-до-пропускної-здатності) нижче приблизно 0,85. За більших об'ємів або коли перехрестя розташоване нижче за течією від іншого світлофора, прибуття групуються в колони, і біноміальний чи Ерланг-k розподіл дає кращу відповідність. Критерій узгодженості хі-квадрат Пірсона рутинно використовується інженерами-транспортниками для перевірки, яка модель застосовна до зібраних у полі даних про інтервали між автомобілями.

Пуассонівська модель має ключовий практичний наслідок: навіть за помірних навантажень випадкове групування означає, що в деяких циклах періодично з'являтиметься більше автомобілів, ніж може роз'їхатися за один зелений. Цей ефект залишкової черги збільшує середню затримку нелінійно в міру наближення перехрестя до насичення — одна з основних причин, чому перенасичення таке руйнівне.

3. Потік насичення та ступінь насичення

Потік насичення (s) — це швидкість, з якою черга автомобілів роз'їжджалася б через стоп-лінію, якби їй дали безперервний зелений сигнал. Його вимірюють емпірично, фіксуючи інтервали між послідовними автомобілями, що від'їжджають. Після перших кількох автомобілів (які мають вищі за середні інтервали через час реакції на старті) інтервали стабілізуються на інтервалі насичення h, тож s = 3600 / h vphg.

Базовий потік насичення (ідеальні умови): s₀ \approx 1 900 vphg (стандарт Великої Британії/США) Скоригований потік насичення: s = s₀ \cdot f_w \cdot f_hv \cdot f_g \cdot f_p \cdot f_bb \cdot f_a \cdot f_RT \cdot f_LT Ключові коригувальні коефіцієнти: f_w — ширина смуги (< 3,0 м зменшує, > 3,6 м збільшує) f_hv — частка важких транспортних засобів (вантажівки/автобуси як PCE \approx 2,0-2,5) f_g — поздовжній похил під'їзду (вгору зменшує, вниз збільшує) f_p — паркувальна активність біля стоп-лінії f_RT — частка поворотів праворуч (Велика Британія: правий — це поворот через зустрічний потік) f_LT — частка поворотів ліворуч Ступінь насичення (x) для групи смуг: x = q / (s \cdot g/C) x < 1,0 \to недонасичене (черга очищається щоциклу) x = 1,0 \to пропускна здатність (черга щойно очищається в середньому) x > 1,0 \to перенасичене (черга росте щоциклу)

Інженери-транспортники прагнуть x ≤ 0,85–0,90 на критичних смугах, щоб забезпечити буфер проти випадкових коливань. Перехрестя, де ступінь насичення критичної смуги постійно перевищує 0,95, зазнаватиме частих черг переповнення та непередбачуваних затримок.

4. Формула оптимального циклу Вебстера

Формула Ф. В. Вебстера 1958 року для оптимальної тривалості циклу світлофора, що мінімізує сумарну затримку транспортних засобів на двофазному світлофорному перехресті, така:

C_opt = (1,5L + 5) / (1 - Y) де: C_opt = оптимальна тривалість циклу (секунди) L = загальний втрачений час за цикл (секунди) = n_фаз \times (l_i - e_i) l_i = втрачений час на старт + очищення за фазу (\approx 3-5 с) e_i = продовження ефективного зеленого в жовтий Y = сума відношень об'єму/потоку-насичення критичних смуг = Σ (q_ci / s_i) для i = 1\dotsn критичних смуг Практичні межі: C_min \approx 40 с, C_max \approx 120 с (міські світлофори) Приклад — 2-фазне перехрестя: Фаза 1: q_c1 = 600 vph, s₁ = 1 800 vphg \to y₁ = 0,333 Фаза 2: q_c2 = 450 vph, s₂ = 1 800 vphg \to y₂ = 0,250 Y = 0,333 + 0,250 = 0,583 L = 2 \times 4 с = 8 с C_opt = (1,5 \times 8 + 5) / (1 - 0,583) = (12 + 5) / 0,417 \approx 41 с \to округлити до 45 с Вебстер також показав, що затримка відносно нечутлива до тривалості циклу поблизу оптимуму: зміна C на \pm15% збільшує затримку на < 5%. Грубі помилки (надто короткий або надто довгий цикл) спричиняють різкі стрибки затримки.

Формула припускає пуассонівські прибуття та рівномірний попит протягом усього циклу. Розширення Акчеліка (1981, Австралійська рада дорожніх досліджень) додають коригувальний член для перенасичених умов і попиту, що змінюється в часі, покращуючи точність поблизу пропускної здатності. Британський проєктний стандарт (DMRB TD 19) використовує варіант, що враховує потреби пішохідних переходів та ефекти спільних смуг.

Чому довші цикли не завжди кращі

Інтуїція підказує, що довша зелена фаза пропускає більше автомобілів. Але формула Вебстера розкриває контрінтуїтивну істину: дуже довгі цикли збільшують сумарну затримку, бо автомобілі проводять більше часу в очікуванні на червоному перед початком циклу. Існує справжній оптимум, і подвоєння тривалості циклу, скажімо, з 60 с до 120 с може збільшити середню затримку на 30–50% за помірного попиту.

5. Рівень обслуговування (LOS)

Highway Capacity Manual (HCM) — виданий Радою транспортних досліджень у США та використовуваний на міжнародному рівні — визначає рівень обслуговування для світлофорних перехресть на основі середньої затримки керування на одне транспортне засіб (d, у секундах). Затримка включає сповільнення, час зупинки та прискорення.

LOS	Середня затримка (с/авто)	Опис
A	≤ 10	Відмінно — майже вільний потік, мінімум зупинок
B	10 – 20	Добре — коротка затримка, більшість авто роз'їжджається за перший цикл
C	20 – 35	Прийнятно — починаються поодинокі збої циклів
D	35 – 55	Терпимо — помітна заторованість, певне переповнення
E	55 – 80	Погано — близько до пропускної здатності, часті черги переповнення
F	> 80	Відмова — перенасичене, черга росте необмежено

Міські проєктні стандарти зазвичай вимагають LOS D або кращий у пікову годину для затвердження нової забудови. Світлофорне перехрестя, що працює на LOS F у пікові періоди, є кандидатом на поліпшення пропускної здатності — розширення, переналаштування світлофора або розв'язку в різних рівнях.

Формула затримки HCM для світлофорного перехрестя поєднує три компоненти: рівномірну затримку (детерміновану, з припущенням про прибуття точно із середньою інтенсивністю), приростову затримку (враховує випадкові прибуття та збої циклів) і член затримки початкової черги для наявного переповнення:

d = d₁ \cdot PF + d₂ + d₃ d₁ = рівномірна затримка = 0,5 \cdot C \cdot (1 - g/C)² / (1 - min(1,x) \cdot g/C) d₂ = приростова затримка = 900T \cdot [(x-1) + \sqrt((x-1)² + 8kI\cdotx/(c\cdotT))] d₃ = затримка початкової черги (0, якщо немає залишкової черги) PF = коефіцієнт прогресії (< 1, якщо прибуття сприяють зеленому) T = тривалість періоду аналізу (години, зазвичай 0,25) k = коефіцієнт приростової затримки (0,5 для світлофорів із фіксованим часом) I = коефіцієнт фільтрації згори (1,0 для ізольованих світлофорів) c = пропускна здатність групи смуг = s \cdot g/C (vph)

6. Розподіл фаз і втрачений час

Щойно визначено оптимальну тривалість циклу C, час зеленого потрібно розподілити між фазами (так званий розподіл фаз). Стандартний підхід розподіляє ефективний час зеленого пропорційно відношенню потоку критичної смуги кожної фази:

Доступний загальний ефективний час зеленого: G_total = C - L Час зеленого для фази i: g_i = (y_i / Y) \cdot G_total Ефективний зелений проти відображеного зеленого: g_eff = g_displayed - l_s + e l_s \approx 2,0 с (втрачений час на старті, водії реагують на зелене) e \approx 2,0 с (виграш у кінці: авто продовжують рух через жовтий/повний червоний) Чистий втрачений час за фазу \approx 0-1 с на практиці за стандартного налаштування Приклад (продовження з Розділу 4, C = 45 с, L = 8 с): G_total = 45 - 8 = 37 с g₁ = (0,333 / 0,583) \times 37 \approx 21 с g₂ = (0,250 / 0,583) \times 37 \approx 16 с

Втрачений час — це час протягом фази світлофора, коли перехрестя не використовується продуктивно. Він має дві складові: втрачений час на старті (водії в черзі реагують на зелене із запізненням — перший автомобіль втрачає близько 1,5 с, другий 1,0 с тощо, доки черга не рухається з інтервалом насичення) і втрачений час на очищення (останній автомобіль, що проходить на жовтий, може не повністю використати інтервал жовтого). Мінімізація втраченого часу — наприклад, застосуванням двофазного, а не чотирифазного плану світлофора там, де це дозволяє безпека пішоходів — безпосередньо збільшує пропускну здатність.

7. Адаптивне керування світлофором

Плани світлофора з фіксованим часом оптимізовані під історичний середній попит. Реальний рух коливається — футбольний матч, шкільний дзвінок чи окремий інцидент із блокуванням смуги можуть різко змінити потоки за хвилини. Системи адаптивного керування світлофором вирішують це, використовуючи дані детекторів у реальному часі для безперервного оновлення параметрів налаштування.

SCOOT (Split Cycle Offset Optimisation Technique)

Розроблена Британською транспортною дослідницькою лабораторією в 1980-х, SCOOT розгорнута в понад 250 містах світу. Індуктивні петлеві детектори безперервно вимірюють зайнятість і потік. Транспортна модель працює в реальному часі, і система робить невеликі приростові коригування щоцикла розподілу (розподіл зеленого в межах фази), тривалості циклу та зсуву (відносного часу між сусідніми світлофорами). Малі зміни запобігають нестабільності надмірної корекції. Дослідження SCOOT у Великій Британії повідомляють про середнє зниження затримки на 12–15% порівняно з оптимізованим фіксованим часом.

SCATS (Sydney Coordinated Adaptive Traffic System)

Розроблена службою Roads and Maritime Services Нового Південного Уельсу (Австралія). SCATS обирає плани налаштування світлофора з попередньо обчисленої бібліотеки на основі виміряного детекторами ступеня насичення. Вона простіша за підхід безперервної моделі SCOOT, але однаково ефективна на практиці й розгорнута в понад 100 містах Австралії, Нової Зеландії, Ірландії та Китаю.

Підходи на основі машинного навчання

Дослідження з 2015 року вивчають навчання з підкріпленням (RL) для адаптивного керування світлофором. RL-агент спостерігає довжину черг і затримку та навчається політики, що максимізує сукупну винагороду (мінімізує сумарну затримку) через симульовану та реальну взаємодію. Дослідження з використанням транспортного симулятора SUMO показують, що RL-агенти перевершують SCOOT на 10–25% у складних сценаріях із багатьма перехрестями, особливо за дуже нестаціонарного попиту. Виклики розгортання включають перевірку безпеки, інтерпретованість і складність навчання на реальних мережах, де помилки мають реальні наслідки.

Сенсорні технології: Сучасні адаптивні системи використовують поєднання індуктивних петель (підрахунок, зайнятість), відеоаналітики (оцінка довжини черги, підрахунок поворотних рухів), радара (швидкість + підрахунок) та повторної ідентифікації за Bluetooth/WiFi (вимірювання часу в дорозі). Дані під'єднаних транспортних засобів (V2I) починають доповнювати чи замінювати стаціонарну інфраструктуру в пілотних розгортаннях.

8. Координація світлофорів і зелені хвилі

Ізольований оптимізований світлофор усе одно може дратувати водіїв на магістральному коридорі, якщо сусідні світлофори не скоординовані. Автомобіль, що проходить одне зелене світло, в ідеалі має прибути до наступного світлофора під час його зеленої фази — це концепція зеленої хвилі або смуги прогресії.

Координацію досягають через зсув — різницю в часі між початками зеленого на послідовних світлофорах. Для однобічної вулиці з рівномірною відстанню d (метри) між світлофорами та дозволеною швидкістю v (м/с) ідеальний зсув — це просто d/v секунд. Для двобічних вулиць ідеальна зелена хвиля в обох напрямках можлива лише тоді, коли відстань між світлофорами дорівнює половині відстані, яку автомобіль проїжджає за цикл — обмеження, що рідко виконується на практиці, тож потрібна компромісна оптимізація.

Інструменти на кшталт TRANSYT (Transport Network Study Tool, TRL Великобританія) моделюють цілу мережу світлофорів одночасно й використовують індекс ефективності, що поєднує зупинки та затримки, щоб знайти зсув і план налаштування, який мінімізує затримку в масштабі мережі. TRANSYT є стандартним британським проєктним інструментом з 1969 року.

Пропускна смуга зеленої хвилі — частка циклу, протягом якої автомобілі можуть проїхати послідовні перехрестя без зупинки — є ключовою метрикою якості прогресії. Максимізація пропускної смуги на великій магістралі за збереження прийнятного обслуговування на поперечних вулицях є центральним компромісом у міській координації світлофорів.

9. Ключові висновки

Підсумок

Світлофорне перехрестя — це система черг: інтенсивність прибуття, потік насичення та ефективне відношення зеленого визначають, очищається черга щоцикла чи росте необмежено.
Пуассонівські прибуття точно моделюють незалежні автомобілі за низьких і помірних об'ємів; ефекти колон вимагають біноміального чи Ерлангового розподілів.
Формула Вебстера (1958) дає оптимальну тривалість циклу як C = (1,5L + 5)/(1 − Y) і залишається міжнародним стандартом для проєктування з фіксованим часом.
Рівень обслуговування (A–F) оцінює середню затримку керування: LOS D (35–55 с) — типовий міський проєктний поріг; LOS F означає, що перехрестя вичерпало пропускну здатність.
Адаптивні системи (SCOOT, SCATS, RL-агенти) знижують затримку на 10–25% порівняно з оптимізованим фіксованим часом, реагуючи на попит у реальному часі.
Координація світлофорів через зсуви створює зелені хвилі, зменшуючи зупинки та витрату пального на магістральних коридорах.
Втрачений час за фазу (втрати на старті + очищення ≈ 3–5 с) безпосередньо знижує пропускну здатність; мінімізація кількості фаз збільшує доступний ефективний час зеленого.

Поширені запитання

Що таке формула Вебстера для оптимальної тривалості циклу світлофора?

Формула Вебстера (1958) дає оптимальну тривалість циклу як C = (1,5L + 5) / (1 − Y), де L — це загальний втрачений час за цикл (зазвичай 3–5 секунд на фазу), а Y — сума відношень об'єму до потоку насичення для критичних смуг. Формула мінімізує середню затримку на одне транспортне засіб і залишається базовим методом транспортної інженерії в усьому світі.

Чому розподіл Пуассона використовують для моделювання прибуття автомобілів?

Прибуття автомобілів на ізольоване перехрестя описуються пуассонівським процесом, коли рух легкий чи помірний і транспортні засоби прибувають незалежно. Модель дає ймовірність точно k прибуттів за час t як P(k) = (λt)^k · e^(−λt) / k!. За великих об'ємів або поблизу попередніх світлофорів прибуття групуються в колони, і точнішим є біноміальний чи Ерланговий розподіл.

Що таке рівень обслуговування (LOS) на світлофорному перехресті?

Рівень обслуговування — це літерна оцінка від A до F на основі середньої затримки керування на одне транспортне засіб (секунди). LOS A означає затримку менше 10 секунд (відмінний вільний потік); LOS F означає затримку понад 80 секунд (відмова пропускної здатності — черги ростуть необмежено). Highway Capacity Manual (HCM) визначає пороги, які використовують транспортні органи в усьому світі.

Чим адаптивне керування світлофором відрізняється від керування з фіксованим часом?

Керування з фіксованим часом використовує заздалегідь розраховані плани на основі історичних даних. Адаптивні системи, як-от SCOOT і SCATS, використовують дані детекторів у реальному часі для безперервного коригування тривалостей циклів, розподілу фаз і зсувів. Дослідження показують, що адаптивне керування знижує затримку на перехресті в середньому на 10–25% порівняно з оптимізованим фіксованим часом, з найбільшою користю в непікові чи порушені інцидентами періоди.

Що таке потік насичення і чому він важливий?

Потік насичення (s) — це максимальна швидкість роз'їзду черги через стоп-лінію під час зеленого, виражена в авто за годину зеленого (vphg). Стандартна ідеальна смуга має s ≈ 1 900 vphg; ширина смуги, важкі транспортні засоби, повороти та конфлікти з пішоходами знижують це значення. Ступінь насичення x = q / (s · g/C) показує інженерам, наскільки близько смуга до пропускної здатності — x понад 1,0 означає, що смуга перевищує пропускну здатність і черга ростиме щоцикла.