Спін-½: алгебра Паулі

Спін як власний момент імпульсу

Орбітальний момент імпульсу L̂ виникає з руху частинки в просторі і в принципі може дорівнювати нулю. Спін Ŝ — інша річ: це власна властивість, присутня навіть у частинки в стані спокою, що підпорядковується тій самій комутаційній алгебрі, що й орбітальний момент, але приймає напівцілі значення поряд із цілими. Електрон має квантове число спіну s = ½ — величина його спінового моменту фіксована як |S| = √(s(s+1))ℏ = (√3/2)ℏ, а проєкція на будь-яку обрану вісь може приймати лише два значення, ±ℏ/2.

Матриці Паулі σx, σy, σz

Для спіну-½ оператори спіну мають вигляд Ŝᵢ = (ℏ/2)σᵢ, де три матриці Паулі діють на двокомпонентний спінор |ψ⟩ = (a, b)ᵀ:

Кожна матриця Паулі ермітова (дійсні власні значення ±1), безслідова (trace = 0), і в квадраті дає одиничну матрицю: σᵢ² = I. Разом з I вони охоплюють весь простір ермітових матриць 2×2 — будь-який оператор спіну-½, і будь-який однокубітний квантовий вентиль, можна записати як дійсну лінійну комбінацію {I, σx, σy, σz}.

Комутаційні та антикомутаційні співвідношення

Матриці Паулі задовольняють дві взаємодоповнюючі алгебраїчні тотожності, які разом визначають практично всю фізику спіну-½:

Комутатор [σx, σy] = 2iσz (і циклічні перестановки) — це точно алгебра кутового моменту SU(2): [Ŝᵢ, Ŝⱼ] = iℏεᵢⱼₖŜₖ, що підтверджує: спін дійсно перетворюється як момент імпульсу при обертаннях. Антикомутатор {σᵢ, σⱼ} = 0 для i≠j каже, що різні матриці Паулі «максимально несумісні» — вимірювання Sx руйнує будь-яке раніше відоме значення Sy, що є алгебраїчним корінням того, чому вимірювання Штерна-Герлаха вздовж різних осей не узгоджуються між собою.

Оператори спіну та власні стани

σz — діагональна, тож її власні стани — це базисні вектори, традиційно звані спін-вгору та спін-вниз:

Оскільки σz не комутує з σx чи σy, |↑⟩ та |↓⟩ не є власними станами Sx чи Sy — спін, виміряний «вгору» вздовж z, а потім виміряний вздовж x, дає +ℏ/2 або −ℏ/2 з рівною ймовірністю 50/50. Це аналог спіну-½ співвідношення невизначеності Δx·Δp, виражений через некомутуючі компоненти спіну, а не координату й імпульс.

Сфера Блоха

Будь-який нормований стан спіну-½ (з точністю до неважливої загальної фази) можна параметризувати двома кутами (θ, φ) та зобразити як точку на одиничній сфері:

Середнє значення ⟨ψ|σ⃗|ψ⟩ тоді описує саме точку (sinθ cosφ, sinθ sinφ, cosθ) — одиничний вектор на сфері Блоха. Північний полюс — |↑⟩, південний полюс — |↓⟩, а кожна точка на екваторі — рівна суперпозиція, що відрізняється лише відносною фазою φ, наприклад x-власні стани (|↑⟩+|↓⟩)/√2 і (|↑⟩−|↓⟩)/√2. Обертання фізичного спіну на кут α навколо осі n̂ точно відповідає обертанню його вектора Блоха на α навколо n̂ — та сама картина, що використовується для одного кубіта в квантових обчисленнях.

Дослід Штерна-Герлаха

У 1922 році Отто Штерн і Вальтер Герлах пропустили пучок атомів срібла крізь неоднорідне магнітне поле. Класичний магнітний диполь з неперервним діапазоном орієнтацій мав би дати розмитий, неперервний розподіл на екрані детектора. Натомість пучок розділився рівно на дві дискретні плями.

Це прямий експериментальний доказ квантування спіну: вимірювання Sz вздовж будь-якої осі завжди повертає рівно одне з двох власних значень ±ℏ/2, ніколи проміжне значення, і ніколи неперервний розподіл.

Обертання спінора в коді

Обертання фізичного спіну на кут θ навколо осі n̂ породжується експоненціюванням відповідного оператора Паулі; для спіну-½ ця експонента спрощується до простої замкненої форми, бо (n̂·σ⃗)² = I:

// Спінор як [re_up, im_up, re_down, im_down]; обертання навколо осі n на кут theta
function rotateSpinor(spinor, nx, ny, nz, theta) {
  const c = Math.cos(theta / 2);
  const s = Math.sin(theta / 2);
  // R = c*I - i*s*(nx*sx + ny*sy + nz*sz), застосовано до [a, b]
  const [aRe, aIm, bRe, bIm] = spinor;
  const aRe2 = c*aRe            + s*nz*aIm       + s*ny*bRe        - s*nx*bIm;
  const aIm2 = c*aIm            - s*nz*aRe       + s*nx*bRe        + s*ny*bIm;
  const bRe2 = s*ny*aRe   - s*nx*aIm  + c*bRe            + s*nz*bIm;
  const bIm2 = s*nx*aRe   + s*ny*aIm  - s*nz*bRe            + c*bIm;
  return [aRe2, aIm2, bRe2, bIm2];
}

// Вектор Блоха зі спінора: , , 
function blochVector([aRe, aIm, bRe, bIm]) {
  return {
    x: 2 * (aRe*bRe + aIm*bIm),
    y: 2 * (aRe*bIm - aIm*bRe),
    z: aRe*aRe + aIm*aIm - bRe*bRe - bIm*bIm
  };
}