Синтез звуку: FM, AM та аддитивний

Кожен патч синтезатора — від теплого аналогового педа до скляного цифрового дзвону — побудований на одному з невеликої кількості класичних математичних методів генерації хвилі. Розуміння трьох класиків — аддитивного, амплітудної модуляції та частотної модуляції — пояснює, чому Yamaha DX7 звучить зовсім не так, як Minimoog, і як побудувати будь-який з них з нуля в коді.

Автор: Команда MySimulator · Рецензія: Редакційна перевірка MySimulator

Аддитивний синтез

Найпряміший метод, що випливає безпосередньо з ряду Фур'є: зібрати складний тон, підсумовуючи багато синусоїд, кожна зі своєю частотою, амплітудою та фазою.

x(t) = Σ_n=1^N Aₙ(t) · sin(2π n f₀ t + φₙ)

Якщо задати Aₙ ∝ 1/n, отримаємо яскравість, схожу на пилкоподібну хвилю; надання кожній гармоніці власної змінної в часі обвідної Aₙ(t) — що спадає швидше для вищих гармонік — відтворює те, як реальний дзвін чи фортепіанна струна втрачають високочастотний вміст швидше за основну частоту в міру затухання звуку. Саме це роблять трубні органи механічно вже кілька століть (регістри, що змішують різні гармонічні ряди), а орган Hammond — електромеханічно за допомогою тонколіс.

Компроміс: Аддитивний синтез — найгнучкіший та найбуквальніший спосіб реалізації теореми Фур'є — він може відтворити будь-яку періодичну хвилю точно — але багатий, мінливий тон може вимагати десятків незалежно керованих осциляторів, що було непомірно дорого до появи цифрового синтезу.

Амплітудна модуляція (AM) та бічні смуги

Замість додавання синусоїд, перемножте дві з них: швидку несучу на частоті f_c і повільніший модулятор на частоті f_m, який змінює амплітуду несучої:

x(t) = [1 + m·sin(2π f_m t)] · sin(2π f_c t)

Використовуючи тригонометричну тотожність добутку в суму, це розкладається на три складові: оригінальну несучу плюс дві нові бічні смуги на f_c ± f_m:

x(t) = sin(2π f_c t) + (m/2)·sin(2π (f_c+f_m) t) − (m/2)·sin(2π (f_c−f_m) t)

Якщо f_m — повільний LFO (кілька Гц), ви чуєте тремоло — ритмічний пульс гучності. Якщо f_m зростає до звукового діапазону (вище ~20 Гц), бічні смуги стають чутними як нові тони, і тремоло сприймається вже як зміна тембру.

Кільцева модуляція

Близький родич: перемножте два сигнали звукового діапазону напряму, без «1 +» зсуву, щоб зберегти несучу. Це кільцева модуляція, і вона створює лише суму та різницю частот — оригінальна несуча й модулятор повністю зникають:

x(t) = sin(2π f_c t) · sin(2π f_m t)
= ½ cos(2π (f_c−f_m) t) − ½ cos(2π (f_c+f_m) t)

Оскільки отримані частоти зазвичай не є простими цілими кратними жодного з входів, кільцева модуляція створює негармонійні, металеві, дзвонові чи роботизовані тони — відомі завдяки голосам Далеків і синтезу металевої перкусії.

Частотна модуляція (FM) — синтез

Замість модуляції амплітуди модулюйте миттєву частоту несучої безпосередньо. Джон Чаунінг відкрив у Стенфорді в 1967 році (пізніше ліцензовано Yamaha для знакового DX7 1983 року), що напрочуд просте рівняння з двома осциляторами створює вражаюче багату палітру тембрів:

x(t) = sin( 2π f_c t + I · sin(2π f_m t) )

Тут I — індекс модуляції, наскільки сильно модулятор відхиляє фазу несучої. Співвідношення f_c : f_m («співвідношення C:M») визначає, чи потрапляють отримані бічні смуги на гармонічний ряд (цілі співвідношення, як-от 1:1 або 2:1, даючи тональні, музичні звуки), чи поза ним (нецілі співвідношення на кшталт 1:1.4, даючи дзвонові чи металеві тони).

Чому FM захопив поп-музику 1980-х: Одна пара цифрових осциляторів, що модулюють одна одну, з керуванням індексом I у часі, могла відтворити змінну яскравість електропіаніно, дзвонів, мідних та басів — звуки, які раніше вимагали блоків аналогових фільтрів і десятків аддитивних осциляторів — за частку обчислювальних витрат.

Чому бічні смуги FM підпорядковані функціям Бесселя

Розкладання рівняння FM показує нескінченно багато бічних смуг на f_c ± k·f_m для кожного цілого k, і — на відміну від AM — їхні амплітуди не є простими константами, а функціями Бесселя першого роду, J_k(I):

x(t) = Σ_k=−∞^∞ J_k(I) · sin(2π (f_c + k f_m) t)

При I = 0 присутня лише несуча (J₀(0) = 1, всі інші Jₖ = 0) — чиста синусоїда. Зі зростанням I енергія розподіляється по все більшій кількості пар бічних смуг, і кількість значущих бічних смуг зростає приблизно як I + 1. Саме тому підвищення індексу модуляції в патчі FM робить звук поступово «яскравішим» і складнішим — ви спостерігаєте, як функція Бесселя перерозподіляє енергію по дедалі ширшому спектру в реальному часі.

Як обрати метод синтезу

Аддитивний — максимальний контроль, точне відтворення будь-якої періодичної хвилі, але дорого: потрібен один осцилятор на кожну гармоніку.
AM / кільцева модуляція — дешево (одне множення), створює точно дві чи три нові частоти; добре для тремоло, металевих і роботизованих ефектів.
FM — дешево (два осцилятори), але створює багатий, мінливий спектр із багатьох бічних смуг з однієї обвідної індексу модуляції; чудово для дзвонів, електропіаніно, мідних та басів, хоча керувати ним інтуїтивно важче, ніж аддитивним синтезом.

Сучасні програмні синтезатори часто поєднують усі три: аддитивні шари для гармонічного «тіла» звуку, пара FM-операторів для мінливого перехідного процесу атаки та кільцева модуляція для металевої текстури — ті самі математичні будівельні блоки, зібрані в набагато більший інструмент.

Спробуйте самі

Додавайте гармоніки по одній та слухайте, як аддитивний синтез будує хвилю наживо, від чистої синусоїди до яскравої пилкоподібної хвилі:

🎛️ Відкрити симуляцію Фур'є-синтезу →

А потім побудуйте рівняння FM самостійно всього з двома осциляторами Web Audio API в супутньому туторіалі:

🎹 Побудувати синтезатор за 100 рядків →