Квантовий хаос

1. Парадокс: хаос у лінійній теорії

Класичний хаос, як у атракторі Лоренца чи подвійному маятнику, вимагає нелінійного рівняння руху та експоненційної чутливості до початкових умов (позитивний показник Ляпунова). Проте рівняння Шредінгера є строго лінійним відносно хвильової функції ψ:

Лінійність означає, що два розв'язки можна скласти й отримати новий розв'язок, а перекриття між двома спочатку близькими квантовими станами зростає щонайбільше лінійно з часом — ніколи не експоненційно. Строго кажучи, «квантового хаосу» у тому ж сенсі, що й класичного, не існує: хвильові функції не мають траєкторій, які могли б розходитися.

Натомість галузь квантового хаосу (Майкл Беррі точніше називав її квантовою хаологією) вивчає: квантово-механічну поведінку систем, чия класична межа є хаотичною. Вона з'ясовує, як відбитки класичного хаосу проявляються в енергетичних спектрах, хвильових функціях і квантовій динаміці.

2. Принцип відповідності

Принцип відповідності Бора стверджує, що квантова механіка повинна відтворювати класичну механіку у границі ℏ → 0 (або для великих квантових чисел). Для класично хаотичної системи — скажімо, частинки, що відскакує всередині «стадіону-більярда» (прямокутника з двома напівколами по краях), — класичні траєкторії надзвичайно чутливі до початкового кута.

Відповідна квантова задача полягає у знаходженні власних значень Eₙ та власних функцій ψₙ незалежного від часу рівняння Шредінгера всередині тієї ж форми більярда, з умовою ψ = 0 на стінках. У цьому немає нічого «випадкового» — це повністю детермінована крайова задача. Проте отриманий спектр {Eₙ} статистично поводиться як власні значення випадкової матриці, тоді як класично інтегровний більярд (прямокутник або коло) дає спектр, що поводиться як незалежні випадкові числа (статистика Пуассона).

3. Статистика розподілу рівнів

Головним діагностичним інструментом квантового хаосу є розподіл відстаней s = Eₙ₊₁ − Eₙ між сусідніми енергетичними рівнями (після «розгортання» спектра до однорідної середньої густини).

«GOE» і «GUE» означають Гаусів ортогональний ансамбль і Гаусів унітарний ансамбль — два класичні ансамблі випадкових матриць, введені Юджином Вігнером у 1950-х для моделювання енергетичних рівнів ядра, за десятиліття до того, як хтось пов'язав їх із класичним хаосом.

4. Гіпотеза Богігаса-Джаннонi-Шмідта

У 1984 році Оріоль Богігас, Марі-Жоя Джаннонi та Шарль Шмідт запропонували те, що зараз є центральною гіпотезою квантового хаосу:

Це вражаюче твердження: хаотичний атом водню у сильному магнітному полі, хаотичний мікрохвильовий резонатор і хаотичне атомне ядро повинні демонструвати той самий статистичний закон відштовхування рівнів, хоча їхні гамільтоніани зовсім не схожі. Гіпотезу BGS підтверджено чисельно й експериментально сотні разів (мікрохвильові більярди, квантові точки, ридбергівські атоми), але формально вона залишається недоведеною гіпотезою, а не теоремою.

5. Квантове шрамування

Навіть усередині повністю хаотичного більярда деякі власні функції |ψₙ|² розподілені не рівномірно. Замість цього вони показують аномальне посилення вздовж траєкторії короткої, нестійкої періодичної орбіти класичної системи — явище, відкрите Еріком Геллером у 1984 році й назване квантовим шрамуванням.

Шрами дивують тому, що класично хаотична траєкторія має «забуватися» будь-яким близьким квантовим станом — періодичні орбіти нестійкі й мають нульову міру у фазовому просторі. Проте квантова хвильова інтерференція конструктивно підсилює хвильову функцію поблизу цих орбіт, залишаючи видимий «шрам» у густині ймовірності. Шрамування має пряме практичне значення: воно впливає на флуктуації провідності в хаотичних квантових точках і нещодавно повернулося у вивченні багаточастинкових квантових шрамів — виняткових станів взаємодіючих квантових систем, які уникають повної термалізації.

6. Напівкласичні методи: формула сліду Гутцвіллера

Формула сліду Мартіна Гутцвіллера 1971 року — це міст між класичними періодичними орбітами хаотичної системи та її квантовим енергетичним спектром. Схематично густину станів можна розбити на гладку середню частину плюс осцилюючу суму по класичних періодичних орбітах:

Тут S_p — класична дія орбіти p, а A_p залежить від її стійкості (показника Ляпунова). Кожна нестійка періодична орбіта додає загасаючу осциляцію до спектра — сумування по (нескінченно багатьох, експоненційно розмножуваних) періодичних орбітах хаотичної системи в принципі відтворює точний квантовий спектр із суто класичних даних. На практиці сума збігається лише для коротких орбіт, але це вже пояснює, чому окремі короткі періодичні орбіти залишають шрами.

7. Псевдокод: розподіл найближчих рівнів

// Маємо відсортований масив власних значень E[0..N-1]
// 1. Розгортаємо спектр до одиничної середньої відстані
function unfold(E):
  // апроксимуємо гладким поліномом N(E) кумулятивну функцію рахунку
  Ncum = cumulativeCount(E)
  smooth = polyFit(E, Ncum, degree=5)
  return E.map(e => smooth(e))  // розгорнуті рівні, середня відстань = 1

// 2. Обчислюємо відстані між сусідніми рівнями
function spacingHistogram(Eu):
  spacings = []
  for i = 0 to Eu.length - 2:
    spacings.push(Eu[i+1] - Eu[i])
  return histogram(spacings, bins=40)

// 3. Порівнюємо з Пуассоном (інтегровна) vs Вігнером-Дайсоном (хаотична)
poisson = s => Math.exp(-s)
wignerDyson = s => (Math.PI*s/2) * Math.exp(-Math.PI*s*s/4)