📈 Фінанси · Деривативи
📅 Березень 2026⏱ 10 хв читання🟡 Середній · Останнє оновлення: 28 травня 2026 р.

Опціони та хеджування: модель Блека-Шоулза та «греки»

Опціон коштує частку базового активу, але може принести кратний прибуток — або згоріти без вартості. Блек і Шоулз вивели першу ціну в замкненій формі для європейських опціонів у 1973 році, отримавши Нобелівську премію. «Греки» точно вимірюють, як ціна змінюється з ринковими умовами, а дельта-хеджування використовує їх для побудови теоретично безризикових позицій.

Автор: Команда MySimulator · Редакційна перевірка: Редакція MySimulator

1. Опціони кол і пут

Опціон — це контракт, що надає право, але не обов'язок купити або продати актив за фіксованою ціною (ціна страйк K) у дату експірації або до неї.

Ціна, сплачена за опціонний контракт, — це премія. Якщо опціон згорає без вартості, покупець втрачає премію; продавець її зберігає. Продавець («райтер») кол-опціону зазнає теоретично необмеженого зобов'язання, якщо акція зростає — він мусить поставити акції за K незалежно від поточної ціни S.

2. Діаграми виплат

На момент експірації виплата (без урахування сплаченої премії) така:

Виплата кол = max(S_T − K, 0) Виплата пут = max(K − S_T, 0) Прибуток (покупець кол) = max(S_T − K, 0) − C (C = сплачена премія) Прибуток (покупець пут) = max(K − S_T, 0) − P

Покупець кол отримує прибуток, якщо ST > K + C (акція має зрости вище страйка плюс премія). Покупець пут отримує прибуток, якщо ST < K − P. Між цими межами опціон згорає без вартості, а премія втрачається.

Діаграма виплат має форму ключки: пласка на рівні −премії для S < K (кол втрачає премію), лінійно зростає для S > K.

3. Що визначає ціну опціону

Вартість опціону має дві складові:

Шість змінних визначають ціну опціону в моделі Блека-Шоулза:

4. Формула Блека-Шоулза

Фішер Блек, Майрон Шоулз і Роберт Мертон (1973) вивели ціну опціону, побудувавши безперервно ребалансований дельта-хедж, що усуває весь ризик. За геометричного броунівського руху ціни акції та відсутності арбітражу ціна кол така:

C = S·e^{−qT}·N(d₁) − K·e^{−rT}·N(d₂) d₁ = [ln(S/K) + (r − q + σ²/2)·T] / (σ·√T) d₂ = d₁ − σ·√T N(x) = функція розподілу стандартного нормального (ймовірність того, що Z ≤ x) Ціна пут за паритетом пут-кол: P = C − S·e^{−qT} + K·e^{−rT}

Інтерпретація: N(d₂) — це ризик-нейтральна ймовірність того, що кол завершиться «у грошах». N(d₁) — це дельта, коефіцієнт хеджування. Формула розкладає вартість кол на дисконтоване очікуване надходження акції (S·N(d₁)) мінус дисконтований очікуваний платіж за страйком (K·e^{−rT}·N(d₂)).

Нобелівська премія: Шоулз і Мертон отримали Нобелівську премію з економіки 1997 року. Фішер Блек помер у 1995 році; премію не присуджують посмертно. Аргумент Мертона щодо хеджування в неперервному часі математично глибший за початкове виведення.

5. «Греки»

Δ
Дельта

∂C/∂S. Швидкість зміни ціни опціону при зміні ціни акції. Кол: від 0 до 1. Пут: від −1 до 0. «У грошах»: ≈ 0.5. Скільки акцій потрібно для дельта-хеджування.

Γ
Гамма

∂²C/∂S². Швидкість зміни дельти. Найбільша поблизу ATM, близько до експірації. Вимірює потрібну частоту ребалансування дельта-хеджу. Довга гамма = виграш від великих рухів.

Θ
Тета

∂C/∂t. Часовий розпад. Майже завжди негативний для покупців. Опціон ATM втрачає вартість приблизно ∝ √T у міру наближення експірації. Прискорюється в останні тижні.

V
Вега

∂C/∂σ. Чутливість до волатильності. Куплені опціони завжди мають довгу вегу (виграш від зростання волатильності). Максимальна поблизу ATM, за довшої експірації.

ρ
Ро

∂C/∂r. Чутливість до процентної ставки. Зазвичай малий вплив. Коли мають позитивну ро (виграш від вищих ставок); пути — негативну. Важлива для LEAPS (довгострокових опціонів).

6. Дельта-хеджування

Дельта-хедж створює позицію з нульовою чутливістю першого порядку до змін ціни акції. Якщо ви продаєте кол з Δ = 0.6 на 100 акцій, ви купуєте 60 акцій базового активу (або 0.6 акції на опціон):

Портфель = −1 кол + Δ акцій ∂Портфель/∂S = −∂C/∂S + Δ = −Δ + Δ = 0

Хедж потрібно безперервно ребалансувати, бо Δ змінюється разом із S. Саме це динамічне хеджування й змушує Блека-Шоулза працювати: вартість хеджування в часі дорівнює справедливій премії опціону. На практиці трейдери ребалансують дискретно (щоденно або коли Δ відхиляється за поріг) — гамма вимірює прибуток/збиток від дискретного ребалансування.

«Дельта-нейтральна» книга має нульову експозицію за Δ, але може все одно бути піддана гаммі, везі та теті. Великі інвестиційні банки проводять складну оптимізацію за всіма «греками» на мільйонах опціонних позицій.

7. Поширені опціонні стратегії