Портфельна теорія Марковіца: ефективна межа

1952 року Гаррі Марковіц опублікував 14-сторінкову статтю, що зробила революцію у фінансах. Його ідея: інвесторів цікавлять дві речі — очікувана дохідність і ризик (дисперсія). Поєднання активів із недосконалою кореляцією зменшує загальний ризик без втрати дохідності. Ефективна межа — це множина оптимальних портфелів, що максимізують дохідність для кожного рівня ризику.

1. Дохідність і ризик

Для одного активу ми моделюємо:

Очікувана дохідність: μ = E[r] = (1/T) Σ r_t (історичне середнє) Дисперсія: σ² = E[(r - μ)²] (міра розкиду) Стандартне відхилення: σ = \sqrtσ² (у річному вимірі: σ_daily \times \sqrt252)

Історичні річні стандартні відхилення (приблизно): казначейські векселі США ~1%, індекс облігацій ~7%, S&P 500 ~15–18%, окремі техакції ~30–50%, Bitcoin ~70–90%.

Припущення, що дисперсія охоплює весь релевантний ризик, є спрощенням — дохідності не розподілені нормально (важкі хвости, асиметрія), а кореляція між активами змінюється під час криз.

2. Коваріація та кореляція

Коваріація між активами i та j вимірює, наскільки дохідності рухаються разом:

Cov(r_i, r_j) = E[(r_i - μ_i)(r_j - μ_j)] Кореляція: ρ_ij = Cov(r_i, r_j) / (σ_i \cdot σ_j) \in [-1, 1] ρ = +1: ідеальна кореляція \to немає вигоди від диверсифікації ρ = 0: некорельовані \to часткова диверсифікація ρ = -1: ідеальна негативна кореляція \to максимальна диверсифікація

Для N активів нам потрібно N очікуваних дохідностей, N дисперсій і N(N−1)/2 коваріацій. Для 500 акцій S&P: 124 750 коваріацій. Повна коваріаційна матриця має розмір N×N, оцінюється з історичних даних (і сумнозвісно нестабільна).

3. Математика портфеля

Портфель визначається вагами w = (w₁, w₂, ..., wₙ), де Σwᵢ = 1:

Очікувана дохідність портфеля: μ_p = wᵀ \cdot μ = Σ wᵢ μᵢ Дисперсія портфеля: σ²_p = wᵀ Σ w = Σᵢ Σⱼ wᵢ wⱼ Cov(rᵢ, rⱼ) Для 2 активів (ваги w, 1-w): σ²_p = w²σ₁² + (1-w)²σ₂² + 2w(1-w)ρσ₁σ₂

Ключова ідея: коли ρ < 1, σ_p < w·σ₁ + (1−w)·σ₂. Ризик портфеля менший за зважену суму окремих ризиків. Це безкоштовний обід диверсифікації — зменшення ризику без відмови від очікуваної дохідності (за умови, що активи не ідеально корельовані).

Приклад із двома активами: TSLA (μ=30%, σ=55%) та облігації TLT (μ=5%, σ=15%). За ρ = −0.3 портфель TSLA/TLT 60/40 має σ_p ≈ 33% — менше, ніж 60%×55% + 40%×15% = 39%.

4. Ефективна межа

Для кожної можливої цільової дохідності μ_p розв'язуємо квадратичну задачу:

Мінімізувати: wᵀ Σ w (дисперсія портфеля) За умов: wᵀ μ = μ_p (цільова дохідність) Σ wᵢ = 1 (сума ваг дорівнює 1) [за бажанням: wᵢ \geq 0 для лише довгих позицій]

Перебираючи μ_p від мінімуму до максимуму, отримуємо межу мінімальної дисперсії — параболу в просторі (σ_p, μ_p). Верхня половина над глобальним портфелем мінімальної дисперсії — це ефективна межа: для кожного рівня ризику ці портфелі пропонують максимально можливу дохідність.

Будь-який раціональний інвестор, що уникає ризику, має тримати портфель на ефективній межі. Яка саме точка — залежить від індивідуальної толерантності до ризику: більш ризикостійкі інвестори рухаються вгору по межі (вища дохідність, вищий ризик).

5. Коефіцієнт Шарпа та ринковий портфель

Коефіцієнт Шарпа вимірює дохідність на одиницю взятого ризику:

Шарп = (μ_p - r_f) / σ_p r_f = безризикова ставка (дохідність 3-місячного казначейського векселя) Типові орієнтири: S&P 500 \approx 0.5-0.8 історично Berkshire Воррена Баффета ~0.6-0.8 за 50 років

Портфель із максимальним коефіцієнтом Шарпа — це дотичний портфель — точка на ефективній межі, де пряма від безризикової ставки лише торкається межі. Це ринковий портфель за припущень CAPM.

За теоремою про розділення взаємних фондів: будь-який інвестор може досягти оптимального співвідношення ризик-дохідність, поєднуючи дотичний портфель (наприклад, індексний фонд усього ринку) з безризиковим активом. Вища толерантність до ризику → більше акцій, менше облігацій — але завжди той самий портфель акцій.

6. CAPM

Модель оцінки капітальних активів (CAPM; Шарп 1964, Лінтнер 1965) розширює Марковіца до рівноважної моделі. Якщо всі інвестори тримають ефективні за критерієм середнє-дисперсія портфелі, ринок мусить урівноважитися — сукупний портфель, що його тримають усі інвестори, є ринковим портфелем.

E[r_i] = r_f + β_i \cdot (E[r_M] - r_f) β_i = Cov(r_i, r_M) / σ²_M (систематичний ризик) Ринкова премія за ризик E[r_M] - r_f \approx 5-7% історично (акції США) Приклад: акція з β=1.5 має давати дохідність r_f + 1.5 \times (ринкова премія) За r_f=5%, премія=6%: очікувана дохідність = 5% + 9% = 14%

Бета вимірює, скільки ринкового ризику додає актив. Лише систематичний (корельований із ринком) ризик винагороджується вищою очікуваною дохідністю — ідіосинкратичний ризик можна безкоштовно усунути диверсифікацією, тож інвестори не платитимуть премію за його прийняття.

7. Критика та розширення

Чутливість до вхідних даних: невеликі зміни в оцінках очікуваної дохідності спричиняють великі зміни в оптимальних вагах. Оптимізатор — це «максимізатор похибки»: шум у вхідних даних посилюється. Рішення: модель Блека-Літтермана (стискання), робастна оптимізація.
Припущення про нормальний розподіл: реальні дохідності мають важкі хвости (ексцес > 3), а кореляції під час обвалів зростають (акції корелюють сильніше під час ринкового стресу). Марковіц припускав стаціонарну коваріацію.
Оцінка очікуваної дохідності: прогнозування майбутніх дохідностей за історичними даними є сумнозвісно ненадійним. «Сміття на вході — сміття на виході».
Факторні моделі (Фама-Френч): трифакторна модель додає до бети фактори розміру (SMB) і вартості (HML). П'ятифакторна додає прибутковість та інвестиції. Кращий опис поперечного перерізу дохідностей.
Паритет ризику: розподіл за рівним внеском у ризик, а не за вагою. Кожен актив однаково додає до дисперсії портфеля. Часто робастніший за Марковіца.

Попри свої припущення, підхід Марковіца залишається основою інституційного управління активами. Домінування S&P 500 у пасивному інвестуванні неявно спирається на ідею ринкового портфеля з CAPM.