Як працює GPS

Щоразу, коли ваш телефон визначає ваше місцеположення з точністю до кількох метрів, він непомітно розв'язує геометричну задачу із сигналами від 24 супутників, що обертаються на висоті 20 000 км над Землею — і застосовує поправку, виведену з теорії відносності Ейнштейна. Без цієї поправки похибка зростала б на 10 км щодня.

Сузір'я GPS

Початкова американська система GPS (нині GNSS) підтримує сузір'я з 31 діючого супутника на середній навколоземній орбіті (MEO) на висоті ~20 200 км, розташованих у 6 орбітальних площинах із нахилом 55°. Таке розташування гарантує, що з будь-якої точки Землі будь-коли видно щонайменше 4 супутники.

Кожен супутник здійснює два оберти на добу. Їхні орбіти ретельно підібрані так, щоб бути достатньо далеко, аби атмосферний опір був незначним, але достатньо близько, щоб сигнали досягали Землі з належною потужністю.

Потужність сигналу: Супутник GPS передає ~50 ват у діапазонах L1 (1575,42 МГц) та L2 (1227,60 МГц). До того часу, як сигнал досягає вашого приймача, його потужність становить близько 10⁻¹⁶ ват — сто мільярдів мільярдних часток вата. Вашому телефону потрібне дуже чутливе обладнання та вправна обробка сигналів, щоб видобути з цього щось корисне.

Трилатерація: пошук точки у 3D

Трилатерація (а не тріангуляція — яка використовує кути) — це те, як GPS визначає положення. Кожен супутник транслює своє точне місцеположення та точний час відправлення сигналу. Ваш приймач фіксує, коли сигнал прибуває, та обчислює час проходження.

Оскільки сигнал рухається зі швидкістю світла c ≈ 3 × 10⁸ м/с:

відстань = c × (час прибуття − час передачі)

Одне вимірювання відстані розміщує вас на сфері такого радіуса навколо супутника. Дві відстані дають перетин двох сфер: коло. Три відстані звужують його до двох точок. Четвертий супутник усуває неоднозначність і також дає змогу обчислити похибку годинника приймача (який значно менш точний за атомні годинники супутників).

Чому 4 супутники? Годинник вашого телефону точний лише до ~1 мс. Похибка хронометражу в 1 мс означає похибку положення в 300 км. Четвертий супутник дозволяє приймачу обчислити як своє 3D-положення, так і зсув свого годинника — чотири невідомі, розв'язані чотирма рівняннями.

Усе залежить від хронометражу

Світло проходить 30 см за 1 наносекунду. Щоб GPS досяг точності в 1 метр, хронометраж має бути коректним із похибкою менше ніж 3 наносекунди.

Саме тому кожен супутник GPS несе кілька атомних годинників (цезієвих і рубідієвих). Ці годинники точні приблизно до 20–30 наносекунд на добу — приблизно 1 частина на 10¹³. Їх відстежують та коригують наземні станції керування, а їхні значення зсуву завантажують на супутники й передають приймачам.

Спеціальна теорія відносності: швидкі годинники йдуть повільно

Спеціальна теорія відносності Ейнштейна 1905 року стверджує, що рухомий годинник цокає повільніше за нерухомий — сповільнення часу:

Δt' = Δt · √(1 − v²/c²)

Супутники GPS обертаються зі швидкістю ~3,9 км/с. Підставляючи у формулу:

Δt_SRT за добу = −7,2 мкс/добу (годинники супутників ідуть повільно відносно землі)

7,2 мікросекунди на добу. При 30 см на наносекунду це дорівнює похибці положення близько 2,16 км за добу, якщо не коригувати.

Загальна теорія відносності: високі годинники йдуть швидко

Загальна теорія відносності Ейнштейна 1915 року стверджує, що годинники цокають швидше в областях зі слабшою гравітацією — гравітаційне сповільнення часу:

Δt' = Δt · √(1 − 2GM / rc²)

На висоті 20 200 км гравітація слабша, ніж на поверхні Землі. Годинники супутників ідуть швидко відносно наземних годинників:

Δt_GRT за добу = +45,9 мкс/добу (годинники супутників ідуть швидко відносно землі)

Це набагато більший ефект, ніж спеціальна теорія відносності, і в протилежному напрямку.

Сумарна поправка

Ефект	Напрямок	Похибка годинника/добу	Похибка положення/добу
Спеціальна теорія відносності (швидкість)	Повільно ↓	−7,2 мкс	−2,16 км
Загальна теорія відносності (гравітація)	Швидко ↑	+45,9 мкс	+13,77 км
Сумарний ефект	Швидко ↑	+38,7 мкс/добу	+11,6 км/добу

Сумарний результат полягає в тому, що годинники супутників цокають на 38,7 мікросекунди за добу швидше, ніж годинники на землі. Без поправки похибки положення GPS накопичувалися б приблизно на 11,6 км за добу.

Інженери розв'язують це, виготовляючи годинники супутників GPS так, щоб вони цокали трохи повільніше за свою номінальну частоту. На землі ці годинники йшли б неправильно — але на орбіті, після поєднання обох релятивістських ефектів, вони цокають із точно правильною частотою відносно Землі.

Перевірка в реальному світі: GPS — це, мабуть, найкраща реальна перевірка загальної теорії відносності, яка існує. Система спроєктована навколо передбачень, які класична фізика назвала б нісенітницею — і вона працює із субметровою точністю в усьому світі, цілодобово. Як висловився фізик Ніл Ешбі: «GPS — це практичне застосування загальної теорії відносності».

Інші джерела похибок

Іоносферна затримка: Вільні електрони в іоносфері сповільнюють сигнал (зазвичай 20–30 нс, до 150 нс під час сонячних бур). Двочастотні приймачі (L1 + L2) вимірюють затримку безпосередньо, щоб скоригувати її.
Тропосферна затримка: Водяна пара спричиняє затримку ~7 нс (більшу за малих кутів місця). Коригується погодними моделями.
Багатопроменевість: Сигнали, відбиті від будівель, прибувають після прямого сигналу, спричиняючи похибки. Фазовані антенні решітки та обробка сигналів придушують це.
Геометрія супутників (PDOP): Якщо всі видимі супутники скупчені в одній частині неба, геометрія трилатерації погана. PDOP (Position Dilution of Precision, геометричний фактор погіршення точності) кількісно оцінює це; PDOP < 2 — відмінно.

Поза межами GPS: системи GNSS

GPS (США) — лише одна з чотирьох глобальних навігаційних супутникових систем (GNSS):

ГЛОНАСС (Росія) — 24 супутники на висоті 19 100 км, повністю діюча
Galileo (ЄС) — 30 запланованих супутників на висоті 23 222 км, діє з 2016 року
BeiDou (Китай) — 45 супутників (3 орбітальні шари), глобальне покриття з 2020 року

Сучасні смартфони приймають сигнали від усіх чотирьох систем одночасно, що різко покращує швидкість визначення координат та точність (особливо в приміщеннях або в «міських каньйонах», де видимість неба обмежена).

Спробуйте самі

Симуляція орбітальної механіки показує орбіти супутників та геометрію орбітальних площин — основу конструкції сузір'я GNSS:

🛰️ Відкрити симуляцію орбітальної механіки →

Симуляція Сонячної системи демонструє фізику гравітації N тіл, яку мають розв'язувати ті, хто планує траєкторії супутників:

🌍 Відкрити симуляцію Сонячної системи →