Стаціонарне та нестаціонарне обтікання циліндра

1. Режими за числом Рейнольдса

Число Рейнольдса Re = UD/ν (швидкість вільного потоку U, діаметр циліндра D, кінематична в'язкість ν) — єдиний параметр, що контролює топологію сліду за циліндром:

• Re < 1 (повзучий потік Стокса): в'язкі сили домінують, потік повністю приєднаний і майже симетричний спереду-ззаду — оборотний у сенсі Стокса.
• Re ≈ 5–40: потік відривається ззаду, утворюючи пару стабільних, симетричних, стаціонарних рециркуляційних вихорів.
• Re ≈ 40–150: симетричний слід стає нестійким до малих збурень — вихори починають зриватися почергово згори та знизу, утворюючи періодичну вулицю вихорів Кармана.
• Re ≈ 150–300: слід переходить далі, вздовж циліндра з'являються тривимірні нестійкості.
• Re > ~3×10⁵: сам пограничний шар стає турбулентним ще до відриву — «криза опору» (див. п. 6).

2. Стаціонарна межа: потенціальний потік і парадокс Д'Аламбера

Якщо повністю знехтувати в'язкістю (нев'язкий, безвихровий потік), точний стаціонарний розв'язок навколо циліндра радіуса R в однорідному потоці U отримується накладанням однорідного потоку та диполя:

Цей розв'язок симетричний спереду-ззаду — тиск повністю відновлюється на низовій стороні точно так, як падав на верховій. Інтегрування тиску по поверхні дає нульовий чистий опір, відомий як парадокс Д'Аламбера. Реальні циліндри, очевидно, мають опір; парадокс вирішується в'язкістю, яка — хоч і мала — створює тонкий пограничний шар, що відривається і руйнує симетричне відновлення тиску.

3. Відрив пограничного шару

Уздовж передньої половини циліндра потік прискорюється, і градієнт тиску сприятливий (dp/dx < 0), утримуючи пограничний шар приєднаним. Після точки максимальної швидкості (θ ≈ 90° від точки застою) тиск знову починає зростати — несприятливий градієнт тиску. Біля стінки, де кінетична енергія найменша, потік більше не може подолати цей зростаючий тиск і змінює напрямок, відриваючись від поверхні в точці відриву:

Для ламінарного пограничного шару це відбувається приблизно при θ_{відриву} ≈ 80–85° від передньої точки застою. За точкою відриву потік скручується у вихори зсувного шару, які живлять слід.

4. Вулиця вихорів Кармана

Понад Re ≈ 47 два симетричних вихори відриву стають нестійкими: один зростає, зривається донизу за потоком і спонукає протилежний зростати та зриватись у свою чергу. Результат — регулярний, зигзагоподібний подвійний ряд протилежно обертальних вихорів, що переносяться за потоком — вперше проаналізований на стійкість Теодором фон Карманом у 1911–1912 роках. Цей зрив також створює коливну поперечну (підйомну) силу на самому циліндрі — механізм, що змушує «співати» телефонні дроти, а в екстремальних резонансних випадках призводить до конструктивних руйнувань, як-от обвал мосту Такома-Нероуз у 1940 році (хоча ця подія головним чином визначалась крутильним флаттером, а не чистим зривом вихорів).

5. Число Струхаля та частота зриву

Частота зриву f обезрозмірюється як число Струхаля:

Дивовижно, але у дуже широкому діапазоні чисел Рейнольдса (приблизно 300 < Re < 2×10⁵, «докритичний» режим) St залишається близьким до константи ≈ 0.20 для круглого циліндра — рідкісний випадок, коли складний нестаціонарний потік зводиться до майже універсального безрозмірного закону. Нижче Re ≈ 300 St плавно зростає від ≈ 0.12 при Re ≈ 50 до плато.

6. Опір, підйомна сила та криза опору

Коефіцієнти сили визначаються нормуванням на динамічний тиск і фронтальну площу (A = D·L для циліндра довжини L):

У докритичному режимі C_d для гладкого круглого циліндра становить приблизно 1.0–1.2, здебільшого за рахунок тиску (форми), а не тертя, через широкий відірваний слід. При наближенні Re до ≈ 3×10⁵ відбувається контрінтуїтивна річ: сам ламінарний пограничний шар переходить у турбулентний ще до відриву. Турбулентний пограничний шар несе більше імпульсу біля стінки й довше опирається несприятливому градієнту тиску, затримуючи відрив до θ_{відриву} ≈ 120–130° і зменшуючи слід. Коефіцієнт опору різко падає приблизно до 0.3 — криза опору — перш ніж знову повільно зростати при ще вищих Re. Саме тому м'ячі для гольфу мають ямки: вони навмисно роблять пограничний шар турбулентним раніше, зменшуючи опір саме через цей механізм.