Індукція Фарадея та плазма

1. Закон індукції Фарадея

Майкл Фарадей у 1831 році виявив, що змінне магнітне поле крізь контур індукує ЕРС. Максвелл виразив це так:

Знак мінус фундаментальний — він виражає закон Ленца. Потік Φ_B може змінюватися, тому що:

• Величина B змінюється з часом.
• Контур рухається відносно статичного поля.
• Площа або орієнтація контуру змінюється (як в електричному генераторі).

ЕРС руху у провіднику довжиною L, що рухається зі швидкістю v перпендикулярно до поля B, дорівнює: ЕРС = BLv. Це принцип роботи кожного електричного генератора.

2. Закон Ленца та збереження енергії

Закон Ленца стверджує, що індукований струм тече в напрямку, який протидіє зміні, що його породила. Це прямий наслідок збереження енергії — якби індукований струм підсилював зміну, енергія творилася б із нічого.

Вихрові струми індукуються в масивних провідниках, що зазнають впливу змінних полів. Їх корисно застосовують в індукційних плитах і магнітному гальмуванні, а мінімізують ламінуванням осердь трансформаторів задля зменшення втрат.

3. Самоіндукція та взаємоіндукція

Котушка зі струмом створює магнітне поле, що зчіплюється з її власними витками — це самоіндукція:

Коли дві котушки розташовані поряд, потік від котушки 1 зчіплюється з котушкою 2 — це взаємоіндукція M:

У LC-колах енергія коливається між котушкою індуктивності (магнітне поле) та конденсатором (електричне поле) на резонансній частоті ω₀ = 1/√(LC). Реальні кола містять опір, і коливання згасають — так само, як механічні маятники.

4. Трансформатори

Ідеальний трансформатор з N₁ витками первинної та N₂ витками вторинної обмотки підкоряється:

Реальні трансформатори втрачають енергію через: гістерезисні втрати в осерді (площа кривої B–H), вихрові струми (зменшуються ламінуванням), резистивні втрати в обмотках (I²R) та потік розсіювання. Сучасні силові трансформатори досягають ККД >99%.

Високовольтні лінії електропередачі працюють під напругою в сотні кВ, бо за фіксованої потужності P = VI вища напруга означає менший струм, а резистивні втрати масштабуються як I²R. Підвищувальні та знижувальні трансформатори опосередковують між генерацією (10–25 кВ), далекою передачею (100–765 кВ) і місцевим розподілом (240 В).

5. Магнітна гідродинаміка (МГД)

Магнітна гідродинаміка розглядає плазму як єдину провідну рідину, зв'язану з електромагнітними полями. Рівняння МГД поєднують Нав'є–Стокса з Максвеллом:

6. Магнітний пінч-ефект

Коли струм тече крізь плазмовий стовп, утворене азимутальне магнітне поле B_φ створює силу J × B, спрямовану всередину — стискаючи, або «пінчуючи», плазму:

Z-пінч за своєю природою нестійкий: перетяжкова нестійкість (перегин m=0) і згинальна нестійкість (m=1) руйнують утримання за мікросекунди. Токамак стабілізує геометрію утримання, додаючи сильне тороїдальне поле й надаючи плазмі форми тора — підхід, який використовують ITER та комерційні проєкти на кшталт SPARC від Commonwealth Fusion.

Тета-пінч (струм уздовж θ, поле вздовж z) змінює геометрію на протилежну й теж нестійкий. Конфігурація з оберненим полем (FRC) та сферомак — це концепції компактного тора, які розробляють приватні термоядерні компанії.

7. JavaScript — симуляція МГД-трубки потоку

Спрощена 2D МГД-симуляція, що відстежує адвекцію силових ліній під заданим полем швидкостей (режим вмороженості потоку, Rₘ ≫ 1).

// 2D адвекція вмороженої силової лінії (ідеальна МГД, Rm >> 1)
// Силові лінії подані ланцюжками точок; адвектуються швидкістю рідини

class FluxTube {
  constructor(points) {
    // points: [{x, y}, ...] — точки
    this.pts = points.map(p => ({x: p.x, y: p.y}));
  }

  advect(velocityFn, dt) {
    for (const p of this.pts) {
      const v = velocityFn(p.x, p.y);
      p.x += v.vx * dt;
      p.y += v.vy * dt;
    }
  }

  draw(ctx, color = '#f87171') {
    ctx.beginPath();
    ctx.strokeStyle = color;
    ctx.lineWidth = 2;
    this.pts.forEach((p, i) =>
      i === 0 ? ctx.moveTo(p.x, p.y) : ctx.lineTo(p.x, p.y)
    );
    ctx.stroke();
  }
}

// Швидкість, подібна до сонячної конвекції: обертові комірки
function convectiveVelocity(x, y, t = 0) {
  const scale = 0.02;
  // Функція течії ψ = cos(scale·x)·cos(scale·y)
  // vx = ∂ψ/∂y, vy = −∂ψ/∂x
  return {
    vx:  Math.cos(scale * x) * (-Math.sin(scale * y)) * scale * 50,
    vy:  Math.sin(scale * x) *   Math.cos(scale * y)  * scale * 50,
  };
}

// Інтегратор ЕРС індукції Фарадея
function computeEMF(Bfield, loop, dt) {
  // loop: масив вершин {x,y} (замкнений багатокутник)
  // Φ = ∫∫ B · dA  (інтегрування площі за формулою шнурівки)
  let flux = 0;
  const N = loop.length;
  for (let i = 0; i < N; i++) {
    const x = (loop[i].x + loop[(i + 1) % N].x) / 2;
    const y = (loop[i].y + loop[(i + 1) % N].y) / 2;
    flux += Bfield(x, y); // компонента B_z
  }
  flux *= 1; // помножити на площу комірки для коректного інтеграла
  return -flux / dt; // ЕРС = −dΦ/dt (Фарадей)
}

// Дипольне магнітне поле (2D переріз)
function dipoleBfield(x, y, mx = 0, my = 0, m = 1e4) {
  const mu0 = 4e-7 * Math.PI;
  const dx = x - mx, dy = y - my;
  const r2 = dx ** 2 + dy ** 2;
  if (r2 < 1) return {bx: 0, by: 0};
  const r = Math.sqrt(r2);
  const pre = (mu0 * m) / (4 * Math.PI * r2 ** 2);
  return {
    bx: pre * (3 * dx * dy),       // ∝ 3 cos θ sin θ / r³
    by: pre * (2 * dy ** 2 - dx ** 2), // ∝ (3 cos²θ − 1) / r³
  };
}

// Пінч Беннетта: радіальний баланс для струмового стовпа z-пінча
function bennettPressure(I, r, R) {
  // Однорідна густина струму J = I/(πR²), тиск усередині r < R
  const mu0 = 4e-7 * Math.PI;
  const J = I / (Math.PI * R ** 2);
  const p0 = (mu0 * J ** 2 * R ** 2) / 4; // піковий тиск при r=0
  return r < R ? p0 * (1 - r ** 2 / R ** 2) : 0;
}

8. Застосування

• Електродвигуни та генератори: Усі обертові електричні машини працюють на індукції Фарадея — ЕРС руху в провідниках, що перетинають магнітне поле.
• Бездротова зарядка: Індуктивний зв'язок між котушками передає енергію через взаємоіндукцію на частоті 100–200 кГц (стандарт Qi).
• МРТ-сканери: Швидко перемикані градієнтні котушки індукують струм у пацієнті (радіочастотні котушки) та зворотно індукують ЕРС для детектування.
• Токамаки (ITER, SPARC): МГД-утримання за допомогою тороїдальних + полоїдальних полів із метою досягнення температур плазми >150 мільйонів K для запалювання D-T синтезу.
• Зоряні динамо: Диференціальне обертання та конвекція розтягують і підсилюють силові лінії магнітного поля (ефекти Ω та α), породжуючи сонячний магнітний цикл (~11 років).
• Геодинамо: Конвективний рух рідкого залізного зовнішнього ядра Землі підтримує глобальне магнітне поле через МГД-індукцію.