Стисливі та розширювальні течії: ударні хвилі, віяла та число Маха

1. Число Маха та режими течії

Число Маха M = V/a порівнює локальну швидкість потоку V з локальною швидкістю звуку a = √(γRT). Це найважливіший параметр у стисливій аеродинаміці, оскільки він показує, наскільки швидко рухається рідина відносно швидкості поширення тиску в ній.

Приблизно вище M = 5 режим називають гіперзвуковим, де важливими стають ефекти реального газу (дисоціація, іонізація) — окремий режим, що виходить за межі цієї статті, яка зосереджена на поведінці калорично досконалого газу (γ = const).

2. Керівні рівняння стисливої течії

Стислива течія описується трьома законами збереження — маси, імпульсу та енергії — плюс рівнянням стану. Для стаціонарної квазі-1D течії у каналі змінного перерізу A(x) вони зводяться до:

Диференціюючи рівняння нерозривності та комбінуючи його з рівнянням імпульсу для ізентропної течії, отримуємо співвідношення, схоже на стисливе рівняння Бернуллі, але ключова нова поведінка полягає в тому, що dV і dA можуть мати однаковий знак, коли M > 1 — звужувальний канал сповільнює дозвукову течію, але прискорює надзвукову. Саме цей факт пояснює, чому ракетні сопла мають форму пісочного годинника.

3. Ізентропні співвідношення течії

Поза стрибками ущільнення стислива течія досконалого газу є ізентропною (без зміни ентропії), що дозволяє пов'язати статичні параметри (p, T, ρ) у будь-якій точці зі стагнаційними (резервуарними) параметрами (p0, T0, ρ0) виключно як функції числа Маха:

Ці "зіркові" значення при M = 1 є критичними умовами, які використовуються для розрахунку горловини сопла: незалежно від тиску в резервуарі p0, тиск у горловині не може впасти нижче 0,528·p0, поки сопло залишається "запертим" — жорстке фізичне обмеження, а не проєктний вибір.

4. Співвідношення площа-число Маха та сопла

Найкорисніше проєктне рівняння в стисливій течії пов'язує локальну площу перерізу каналу A з площею горловини (звуковою) A* виключно через число Маха:

Це співвідношення двозначне: для будь-якого A/A* > 1 існує два розв'язки — один дозвуковий (M < 1) і один надзвуковий (M > 1). Звужувально-розширювальне сопло (сопло Лаваля) використовує цю властивість: течія прискорюється дозвуково через звужувальну ділянку, досягає рівно M = 1 у горловині мінімальної площі, а потім продовжує прискорюватися надзвуково через розширювальну ділянку — за умови, що тиск нижче за потоком (протитиск) достатньо низький, щоб підтримувати розширення.

• Перерозширене сопло: протитиск занадто низький відносно розрахункового — косі стрибки ущільнення утворюються поза соплом, щоб знову стиснути струмінь.
• Недорозширене сопло: протитиск занадто високий — розширення продовжується за межами зрізу сопла у вигляді хвиль розширення.
• Розрахункова умова: тиск на зрізі точно дорівнює тиску навколишнього середовища — максимальна ефективність тяги для даного ступеня розширення.

5. Прямі стрибки ущільнення

Прямий стрибок ущільнення — це майже розрив, зазвичай завтовшки лише кілька довжин вільного пробігу, через який надзвукова течія майже миттєво стає дозвуковою. Ентропія зростає (стрибки ущільнення незворотні), тому ізентропні співвідношення до стрибка вже не застосовуються — натомість використовуються умови розриву Ренкіна-Гюгоніо, отримані із законів збереження маси, імпульсу та енергії:

Індекс 1 позначає течію перед стрибком (надзвукову, M1 > 1); індекс 2 — течію за стрибком (завжди дозвукову, M2 < 1, після прямого стрибка ущільнення). Зверніть увагу, що відношення тисків гальмування p02/p01 завжди < 1 — стрибок є процесом із втратами, і ці втрати швидко зростають зі збільшенням числа Маха перед стрибком. Саме тому надзвукові повітрозабірники реактивних двигунів проєктують так, щоб сповільнювати потік серією слабких косих стрибків ущільнення, а не одним сильним прямим стрибком.

6. Косі стрибки ущільнення та співвідношення θ-β-M

Коли надзвукова течія натикається на клин чи ділянку стиснення, стрибок ущільнення утворюється під кутом β до набігаючого потоку, а не перпендикулярно до нього. Течія повертається на кут відхилення θ. Розкладаючи швидкість на нормальну й тангенціальну до стрибка складові, лише нормальна складова поводиться як у прямому стрибку — тангенціальна складова не змінюється, і саме це викривляє лінію течії.

Для заданого числа Маха M1 співвідношення θ-β-M — це сімейство кривих: для кожного кута відхилення θ (до максимального θ_max) існує два можливих кути стрибка β — слабкий стрибок (менший β, зазвичай фізично реалізований розв'язок у зовнішній течії) і сильний стрибок (більший β, ближчий до прямого, що виникає у обмежених каналах). Якщо θ перевищує θ_max для заданого M1, стрибок відривається й утворює викривлену головну ударну хвилю, що стоїть на відстані від тіла — ситуація, яку можна спостерігати перед тупими носовими обтічниками капсул для входу в атмосферу.

7. Віяла розширення Прандтля-Майєра

Там, де косий стрибок ущільнення стискає течію навколо увігнутого кута, віяло розширення Прандтля-Майєра плавно й ізентропно прискорює течію навколо опуклого кута. На відміну від стрибка, віяло розширення не має товщини розриву — це неперервне віяло нескінченно слабких хвиль Маха, кожна з яких ізентропна, тому повний тиск зберігається (без втрат).

ν(M) — функція Прандтля-Майєра, зазвичай затабульована або розв'язана числово, оскільки вона не має обернення у замкненому вигляді. Маючи число Маха M1 перед віялом і кут повороту θ (додатний для розширення), обчислюють ν(M1), додають θ, щоб отримати ν(M2), а потім обертають (наприклад, методом Ньютона-Рафсона), щоб знайти M2. Оскільки процес ізентропний, усі ізентропні співвідношення p/p0, T/T0 з розділу 3 продовжують діяти й через віяло — змінюється лише напрямок течії та число Маха.

8. Мінімальний квазі-1D розв'язувач сопла

Співвідношення площа-число Маха з розділу 4 можна розв'язати числово простим методом бісекції або ітерацією Ньютона. Нижче наведено компактний JavaScript-розв'язувач, який за заданим відношенням площ A/A* повертає обидва корені числа Маха — дозвуковий і надзвуковий — основу будь-якого симулятора звужувально-розширювального сопла.

// Розв'язати A/A* = f(M) відносно M для заданої гілки: 'sub' або 'super'
const GAMMA = 1.4;

function areaRatio(M, gamma = GAMMA) {
  const g1 = (gamma + 1) / 2;
  const g2 = (gamma - 1) / 2;
  const exponent = (gamma + 1) / (2 * (gamma - 1));
  const term = (1 / g1) * (1 + g2 * M * M);
  return (1 / M) * Math.pow(term, exponent);
}

// Бісекція для пошуку кореня M у заданих межах, що відповідає цільовому A/A*
function solveMachFromArea(areaRatioTarget, branch = 'super') {
  let lo = branch === 'sub' ? 1e-3 : 1.0 + 1e-6;
  let hi = branch === 'sub' ? 1.0 - 1e-6 : 10.0;
  for (let i = 0; i < 100; i++) {
    const mid = (lo + hi) / 2;
    const f = areaRatio(mid) - areaRatioTarget;
    if (Math.abs(f) < 1e-8) return mid;
    const fLo = areaRatio(lo) - areaRatioTarget;
    if (Math.sign(fLo) === Math.sign(f)) lo = mid; else hi = mid;
  }
  return (lo + hi) / 2;
}

// Приклад: горловина — мінімальна площа; A/A* = 4 на зрізі -> знайти число Маха на зрізі
const Msub = solveMachFromArea(4.0, 'sub');   // ~0.147
const Msup = solveMachFromArea(4.0, 'super'); // ~2.94
console.log(`дозвукова гілка: M = ${Msub.toFixed(3)}`);
console.log(`надзвукова гілка: M = ${Msup.toFixed(3)}`);

// За заданим M отримати відношення статичного тиску/температури з розділу 3
function isentropicRatios(M, gamma = GAMMA) {
  const base = 1 + (gamma - 1) / 2 * M * M;
  return {
    T0overT: base,
    p0overP: Math.pow(base, gamma / (gamma - 1)),
    rho0overRho: Math.pow(base, 1 / (gamma - 1)),
  };
}

Прогнавши цей розв'язувач вздовж профілю площі сопла A(x) — використовуючи дозвукову гілку до горловини та надзвукову гілку після неї — отримуємо повний розподіл числа Маха, тиску та температури вздовж осі сопла, саме те, що показала б справжня 3-D симуляція у вигляді кольорового поля течії.

9. Застосування в аерокосмічному проєктуванні

Кожне з цих рішень зводиться до тих самих кількох співвідношень, виведених вище: число Маха визначає режим течії, співвідношення площа-число Маха задає розмір каналу, співвідношення на стрибку показують втрати, а функція Прандтля-Майєра підказує, наскільки опуклий кут може повернути потік до відриву течії. Разом вони становлять основу стисливої аеродинаміки — від гіперзвукових апаратів для входу в атмосферу до повітрозабірника турбовентиляторного двигуна.