Броунівський рух і рівняння Ланжевена — стохастична динаміка

1. Від випадкового блукання до броунівського руху

Найпростіша модель: на кожному кроці розміром δ частинка рухається на ±1 з рівною ймовірністю. Після N кроків із часовим приростом τ:

2. Коефіцієнт дифузії Ейнштейна

Ейнштейн пов'язав коефіцієнт дифузії з молекулярними властивостями через співвідношення Ейнштейна-Смолуховського-Стокса:

3. Рівняння Ланжевена

Ланжевен (1908) явно записав другий закон Ньютона для броунівської частинки:

4. Вінерівський процес та числення Іто

5. Середньоквадратичне зміщення

6. Рівняння Фоккера-Планка

Замість траєкторій ми можемо відстежувати густину ймовірності P(x,t) знаходження частинки в точці x у момент часу t:

7. JavaScript-симулятор Ланжевена

// Перетворення Бокса-Мюллера для гаусового шуму
function gaussianRandom() {
  let u, v, s;
  do {
    u = Math.random() * 2 - 1;
    v = Math.random() * 2 - 1;
    s = u*u + v*v;
  } while (s >= 1 || s === 0);
  return u * Math.sqrt(-2 * Math.log(s) / s);
}

/**
 * Інтегрування методом Ейлера-Маруями передемпфованого рівняння Ланжевена:
 *   dX = drift(X) dt + sqrt(2D) dW
 * @param {number} D    - коефіцієнт дифузії [м²/с]
 * @param {number} T    - загальний час [с]
 * @param {number} dt   - крок часу [с]
 * @param {function} drift - необов'язкова зовнішня сила / gamma [м/с]
 * @returns {Float64Array} значення x траєкторії
 */
function langevin1D(D, T, dt = 1e-4, drift = () => 0) {
  const N = Math.ceil(T / dt);
  const x = new Float64Array(N);
  const sqrtDt = Math.sqrt(2 * D * dt);
  x[0] = 0;
  for (let i = 1; i < N; i++) {
    x[i] = x[i-1] + drift(x[i-1]) * dt + sqrtDt * gaussianRandom();
  }
  return x;
}

// Обчислення MSD із набору траєкторій
function computeMSD(trajectories, maxLag) {
  const nTraj = trajectories.length;
  const msd = new Float64Array(maxLag);
  for (const traj of trajectories) {
    for (let lag = 1; lag <= maxLag; lag++) {
      let sum = 0;
      const count = traj.length - lag;
      for (let i = 0; i < count; i++) {
        const dx = traj[i+lag] - traj[i];
        sum += dx * dx;
      }
      msd[lag-1] += sum / count;
    }
  }
  return msd.map(v => v / nTraj);
}

// Приклад: вільна дифузія
const D = 1e-12; // м²/с, ≈ частинка 1 мкм у воді
const dt = 0.01; // крок часу 10 мс
const trajs = Array.from({length:100}, () => langevin1D(D, 10, dt));
const msd = computeMSD(trajs, 200);
// msd[i] має дорівнювати 2*D*(i+1)*dt (перевірка співвідношення Ейнштейна)
console.log(`MSD[10dt] measured: ${msd[9].toExponential(2)}`);
console.log(`MSD[10dt] expected: ${(2*D*10*dt).toExponential(2)}`);

// Приклад: Орнштейн-Уленбек (гармонічна пастка)
const kappa = 1e-6; // жорсткість пастки
const gamma = 1e-8; // опір
const ouTraj = langevin1D(D, 10, dt, x => -(kappa/gamma) * x);

8. Застосування