Закон Біо-Савара — магнітне поле дроту зі струмом

1. Закон Біо-Савара

Розглянемо дріт, яким тече струм I. Крихітний елемент дроту, довжиною dl і напрямком уздовж струму, створює магнітне поле dB у точці спостереження, зміщеній на вектор r:

Векторний добуток означає, що поле завжди перпендикулярне і напрямку струму, і лінії до точки спостереження — силові лінії магнітного поля замикаються кільцями навколо дроту, а не спрямовані радіально до нього чи від нього, на відміну від електричного поля навколо заряду. Повне поле в будь-якій точці — це векторна сума (інтеграл) dB вздовж усього шляху струму.

2. Поле нескінченного прямого дроту

Інтегрування закону Біо-Савара вздовж нескінченного прямого дроту на перпендикулярній відстані a від точки спостереження дає один із найкорисніших результатів в електромагнетизмі:

Поле спадає як 1/a, а не 1/a² — бо "джерелом" є ціла нескінченна лінія, а не точка. Подвоєння відстані від довгого прямого дроту зменшує поле вдвічі, а не вчетверо. Ця залежність 1/a — точно те, що передбачає закон Ампера із симетрії, і це корисна перевірка для будь-якого числового інтегратора Біо-Савара: подайте йому довгий прямий відрізок і переконайтеся, що поле збігається з μ₀I/(2πa) вдалині від кінців.

3. Поле скінченного відрізка дроту

Реальні симуляції використовують скінченні відрізки, а не нескінченні дроти. Для прямого відрізка, що спостерігається з перпендикулярної відстані a, коли два кінці утворюють кути θ₁ і θ₂ від основи перпендикуляра, замкнена формула має вигляд:

Коли кінці відрізка прямують до ±∞, sin θ → ±1, і цей вираз точно зводиться до результату для нескінченного дроту μ₀I/(2πa) із Розділу 2 — гарний спосіб перевірити формулу. Цей замкнений вираз обчислюється достатньо швидко для реального часу, тому в симуляції петель дроту, апроксимованих полігоном, використовують саме його, а не грубу числову квадратуру для кожного відрізка.

4. Поле на осі колового витка зі струмом

Для колового витка радіуса R зі струмом I поле на осі на відстані z від центра витка дорівнює:

Це будівельний блок для соленоїдів: складіть N витків на одиницю довжини та проінтегруйте вздовж осі соленоїда, щоб отримати знайому формулу B = μ₀nI для поля глибоко всередині довгого соленоїда, де n = N/довжина. Це також профіль поля, що лежить в основі кожної симуляції "магнітного поля", яка дозволяє перетягнути коловий виток і спостерігати, як силові лінії вигинаються назовні з обох боків.

5. Суперпозиція: довільна форма дроту

Оскільки закон Біо-Савара лінійний за струмом, поле дроту будь-якої форми — котушки, коси, спіралі, фрактала блискавки — це просто векторна сума полів від кожного малого прямого відрізка, що апроксимує криву:

Саме так і будується симуляція "магнітного поля дроту": шлях, намальований користувачем чи згенерований процедурно, розбивається на N прямих відрізків, а поле в кожній точці сітки візуалізації — це сума N внесків скінченних відрізків — вартість O(N) на точку сітки, або O(N·M) для сітки з M точками.

6. Числова реалізація на JavaScript

Розв'язувач Біо-Савара загального призначення представляє дріт як ламану лінію (масив 3D-точок) і підсумовує внесок скінченного відрізка для кожного ребра:

function segmentField(p1, p2, current, fieldPoint, mu0 = 4 * Math.PI * 1e-7) {
  // Вектор уздовж відрізка
  const dl = { x: p2.x - p1.x, y: p2.y - p1.y, z: p2.z - p1.z };
  const segLen = Math.hypot(dl.x, dl.y, dl.z);
  const dir = { x: dl.x / segLen, y: dl.y / segLen, z: dl.z / segLen };

  // Перпендикулярна відстань a та кути theta1/theta2 від основи перпендикуляра
  const toP1 = { x: fieldPoint.x - p1.x, y: fieldPoint.y - p1.y, z: fieldPoint.z - p1.z };
  const along = toP1.x * dir.x + toP1.y * dir.y + toP1.z * dir.z;
  const perp = {
    x: toP1.x - along * dir.x,
    y: toP1.y - along * dir.y,
    z: toP1.z - along * dir.z
  };
  const a = Math.max(Math.hypot(perp.x, perp.y, perp.z), 1e-6);  // уникнути сингулярності на дроті
  const theta1 = Math.atan2(-along, a);
  const theta2 = Math.atan2(segLen - along, a);

  // Замкнена формула відрізка: B = (mu0 I / 4 pi a) (sin theta2 - sin theta1)
  const mag = (mu0 * current / (4 * Math.PI * a)) * (Math.sin(theta2) - Math.sin(theta1));

  // Напрямок: dir x perpUnit дає азимутальний (обвивний) напрямок
  const perpUnit = { x: perp.x / a, y: perp.y / a, z: perp.z / a };
  const circ = {
    x: dir.y * perpUnit.z - dir.z * perpUnit.y,
    y: dir.z * perpUnit.x - dir.x * perpUnit.z,
    z: dir.x * perpUnit.y - dir.y * perpUnit.x
  };
  return { x: mag * circ.x, y: mag * circ.y, z: mag * circ.z };
}

function wireFieldAt(polyline, current, fieldPoint) {
  let total = { x: 0, y: 0, z: 0 };
  for (let i = 0; i < polyline.length - 1; i++) {
    const b = segmentField(polyline[i], polyline[i + 1], current, fieldPoint);
    total.x += b.x; total.y += b.y; total.z += b.z;
  }
  return total;
}

7. Біо-Савар проти закону Ампера

У симуляції Біо-Савар — це робочий кінь, бо не потребує припущень про симетрію — він однаково добре працює для прямого дроту, соленоїда чи намальованої від руки закарлючки. Закон Ампера залишається для перевірки числового результату проти жменьки геометрій, де існує замкнена відповідь.

8. Застосування