Огляд категорії №8 — Хімія та матеріалознавство: 8 симуляцій з
поясненнями
Від атомів, що зв'язуються в кристалічній решітці, до
реакційно-дифузійних патернів Тюрінга та фармакокінетичного
поширення ліків — «Хімія та матеріалознавство» одна з найяскравіших
категорій сайту, а математика за нею напрочуд єдина.
8
симуляцій
4
підтем
PDE
базова математика
EN + UK
мови
Ріст кристалів і фізика твердого тіла
Кристалізація — класичний приклад
формування структур із локальних правил. Кожен атом, доданий
до кристалічної решітки, що росте, притягується зв'язками сусідів —
локальна взаємодія породжує глобально впорядковану структуру.
Симуляція використовує алгоритм Монте-Карло Метрополіса: атом
розміщується у пробній позиції й приймається з імовірністю,
пропорційною e−ΔE/kT.
Оберіть кристалічну систему (кубічну, гексагональну, ОЦК, ГЦК) і
спостерігайте, як атоми зароджуються та ростуть назовні.
Змінюйте температуру, щоб перемикатися між впорядкованим
кристалом і аморфним склом.
Візерунки піску на вібруючій металевій пластині — вузлові лінії
мод стоячих хвиль. Точно відповідає розв'язкам двовимірного
хвильового рівняння: f(x,y)∝sin(mπx/L)·sin(nπy/L).
У статті 1952 року Алан Тюрінг передбачив, що дві дифузійні хімічні
речовини — активатор та інгібітор — можуть спонтанно утворювати
стабільні просторові патерни, як-от плями та смуги. Модель
Грея-Скотта — найвідоміша реалізація цієї ідеї:
Дві концентрації хімічних речовин U та V еволюціонують за
зв'язаними диференціальними рівняннями в частинних похідних.
Зміна параметрів швидкості подачі та швидкості знищення дає
корали, плями, лабіринти, рухомі плями та солітоноподібні
частинки.
Разова доза препарату дифундує з крові в тканину. Другий закон
Фіка керує профілем концентрації. Подивіться, як період
напіввиведення й спорідненість до зв'язування формують
терапевтичне вікно.
f = швидкість подачі · k = швидкість знищення · Du,
Dv = коефіцієнти дифузії
Ядерна та атомна хімія
Енергія зв'язку ядра — енергія, що утримує ядро разом, — одна з
небагатьох величин у фізиці, що має нелінійний пік, і саме це
пояснює, чому і поділ, і синтез можуть вивільняти енергію залежно
від положення на кривій енергії зв'язку.
Інтерактивна крива енергії зв'язку на нуклон для всіх стабільних
ізотопів. Натисніть на будь-який елемент — симуляція покаже
розкладання напівемпіричної формули маси (Бете-Вайцзеккера) на
об'ємний, поверхневий, кулонівський члени та член спарювання.
Спектральні серії водню (Лаймана, Бальмера, Пашена), показані як
лінії випромінювання. Змінюйте електронний перехід — симуляція
обчислює λ = RH⁻¹(1/n₁² − 1/n₂²)⁻¹.
Rydberg formula · photon energy
Хімія рідин і поверхонь
Бульбашки й піни — це задачі мінімізації: поверхневий натяг прагне
мінімізувати загальну площу поверхні при заданому об'ємі, породжуючи
сферичні форми (рівняння Юнга-Лапласа) і закони Плато для з'єднань
піни.
Мильні бульбашки зливаються та перебудовуються за рівнянням
тиску Юнга-Лапласа ΔP = 4γ/r. Геометрія піни підпорядковується
законам Плато — кути в кожному з'єднанні сходяться під 120°.
Резервуари вуглецю (атмосфера, океан, біосфера, літосфера)
обмінюються за рівняннями потоку першого порядку. Змініть викиди
від викопного палива й подивіться, як зсувається рівновага
протягом десятиліть.
Box model ODEs
Основні алгоритми хімічних симуляцій
Gray-Scott PDEMonte Carlo MetropolisДругий закон Фіка (FDM)Формула Бете-ВайцзеккераРівняння Юнга-ЛапласаСпектральна формула Рідберга2D хвильове рівняння (FDM)Пов'язані ОДР блокової моделіGPU-шейдер (текстурний пінг-понг)
Чи знали ви? Симуляція реакційної дифузії
Грея-Скотта повністю працює на GPU за допомогою техніки
текстурного пінг-понгу — кожен кадр шейдер записує наступний
хімічний стан у позаекранну ціль рендерингу, а потім зчитує з неї
для відображення. Це той самий підхід, що використовується у
гідродинамічних розв'язувачах і клітинних автоматах.