Множина Мандельброта
Множина Мандельброта визначається обеззброююче простим правилом. Для кожного комплексного числа c починаємо з z₀ = 0 і повторно застосовуємо відображення z_{n+1} = z_n² + c. Якщо послідовність залишається обмеженою — ніколи не втікає в нескінченність, — то c належить множині Мандельброта. Якщо втікає — c не належить. Розфарбуйте площину за тим, наскільки швидко кожна точка втікає, і виникає приголомшлива структура.
Бенуа Мандельброт ввів термін «фрактал» у 1975 році (від латинського fractus, що означає розбитий чи нерегулярний), хоча множину, яка носить його ім'я, вперше візуально обчислили він сам, Роберт Брукс та Дж. Пітер Мателскі у 1978–80 роках. Межа множини Мандельброта нескінченно складна: незалежно від того, наскільки глибоко ви заглиблюєтесь, з'являються нові структури. Основна кардіоїда відповідає поведінці нерухомої точки; приєднані «бульбашки» відповідають орбітам періоду 2, 3 і вищих періодів; нитки («антени») з'єднуються з точками нескінченного періоду — хаотичною поведінкою.
Множина Мандельброта зв'язна — у ній немає ізольованих острівців. Це довели Адрієн Дуаді та Джон Хаббард у 1982 році. Чи є множина Мандельброта локально зв'язною (гіпотеза MLC), досі залишається однією з великих відкритих проблем комплексної динаміки.
Множини Жюліа
Тісно пов'язані з множиною Мандельброта множини Жюліа. Для фіксованого комплексного параметра c множина Жюліа J(c) — це межа між множиною початкових точок z₀, орбіти яких залишаються обмеженими, і тих, чиї орбіти втікають у нескінченність при ітеруванні f(z) = z² + c. Кожен вибір c дає іншу множину Жюліа.
Множина Мандельброта слугує картою топологій множин Жюліа. Для значень c усередині множини Мандельброта відповідна множина Жюліа зв'язна — єдиний шматок. Для значень c поза множиною Мандельброта множина Жюліа є цілком незв'язним «канторовим пилом» — нескінченним розсіюванням точок. Поблизу межі множини Мандельброта множини Жюліа набувають складних деревоподібних (дендритних) структур із дедалі тоншими деталями.
Цей зв'язок не випадковий: точка c належить множині Мандельброта тоді й лише тоді, коли c лежить у заповненій множині Жюліа відображення f(z) = z² + c. Множина Мандельброта буквально є каталогом форм множин Жюліа.
Фрактальна розмірність
Звичайна геометрія присвоює цілі розмірності: точка — 0D, лінія — 1D, поверхня — 2D, тіло — 3D. Фрактали порушують цю умовність. Трикутник Серпінського — утворений повторним видаленням середніх трикутників з рівностороннього трикутника — має розмірність Гаусдорфа log(3)/log(2) ≈ 1,585. Це «більше, ніж лінія, але менше, ніж площина».
Фрактальна розмірність вимірює, як видимий розмір об'єкта масштабується з масштабом вимірювання. Для берегової лінії Британії вимірювання лінійкою в 200 км дає меншу загальну довжину, ніж вимірювання лінійкою в 50 км, тому що тонша лінійка охоплює більше заток і мисів. Це масштабне співвідношення дає береговій лінії Британії фрактальну розмірність приблизно 1,25. Межа множини Мандельброта має максимально можливу фрактальну розмірність 2 — вона настільки заплутана, що заповнює площу.
Розмірність підрахунку клітинок пропонує практичний спосіб виміряти фрактальну розмірність: покрийте об'єкт клітинками зі стороною ε, порахуйте кількість клітинок N(ε) і обчисліть D = lim(ε→0) log(N(ε)) / log(1/ε). Для гладкої кривої D = 1; для фрактальної кривої D > 1.
Системи ітерованих функцій
Багато природних фракталів можна отримати за допомогою систем ітерованих функцій (IFS): скінченної сукупності стискаючих відображень, застосованих повторно. Трикутник Серпінського виникає з трьох відображень, кожне з яких масштабує в 1/2 і зсуває до іншого кута трикутника. Починаючи з будь-якої початкової точки, повторне застосування випадково обраного відображення з набору сходиться до фрактального атрактора — «гри в хаос».
Папороть Барнслі, представлена математиком Майклом Барнслі у 1988 році, використовує лише чотири афінні перетворення для створення напрочуд реалістичної форми папороті. Основна частка ймовірності припадає на відображення, що створює головний стебло папороті; решта додають листочки та вусики. Уся папороть закодована в 24 числах — вражаючий приклад стиснутого представлення. Цей принцип лежить в основі фрактального стиснення зображень, яке кодує зображення як параметри IFS, а не як значення пікселів.
Досліджуйте множину Мандельброта інтерактивно в симуляції Мандельброта. Наближайте межу, щоб побачити нескінченно вкладені деталі — копії-«мінібро» головної множини з'являються на кожному масштабі впродовж усіх ниток.
L-системи та ріст рослин
У 1968 році біолог Арістід Ліндермаєр винайшов L-системи (системи Ліндермаєра) для моделювання розвитку рослин. L-система складається з алфавіту, початкового рядка (аксіоми) та набору правил породження, які одночасно замінюють кожен символ рядком символів. Після багатьох ітерацій отриманий рядок інтерпретується як команди малювання.
Сніжинка Коха: почніть із «F», застосуйте правило F → F+F−−F+F (де + та − означають поворот ліворуч або праворуч на 60°), і після чотирьох ітерацій ви отримаєте сніжинку з фрактальною розмірністю log(4)/log(3) ≈ 1,26. Складніші правила з дужками для розгалуження ([ = зберегти позицію, ] = відновити позицію) породжують дерева, папороті та коралові структури, візуально невідмінні від реальних організмів. Рекурсивна структура L-систем відображає те, як біологічні організми кодують складні структури через повторювані правила розвитку — зв'язок, який залишається активною темою досліджень у математичній біології.
Фрактали в природі
Фрактальна геометрія — не просто математична абстракція. Бронхіальне дерево людини розгалужується приблизно 23 рази, заповнюючи 3D-об'єм загальною площею газообміну близько 70 квадратних метрів — розміром з корт для бадмінтону, — упакованою в простір розміром з футбольний м'яч. Це ефективне заповнення простору є наслідком фрактального розгалуження.
Річкові мережі підкоряються законам Гортона: кількість приток, середня довжина та середня площа водозбору масштабуються як геометричні прогресії від одного порядку потоку до наступного, утворюючи фрактальні річкові мережі з розмірністю приблизно 1,8. Блискавки — це фрактальні розрядні візерунки (діелектричний пробій). Берегові лінії, гірські хребти та хмари демонструють самоподібну структуру на багатьох масштабах.
У фінансах сам Мандельброт спостерігав, що денні та місячні зміни цін на товарних ринках статистично самоподібні — та сама статистична структура повторюється на різних часових масштабах. Його мультифрактальна модель прибутковості активів набагато краще відображає кластеризацію волатильності та важкі хвости фінансових ринків, ніж гауссове припущення, що лежить в основі класичного ціноутворення опціонів.