Хвильове рівняння
Класичне хвильове рівняння, виведене Жаном ле Роном д'Аламбером у 1746 році, має вигляд: ∂²u/∂t² = v²·∂²u/∂x². Тут u(x,t) — зміщення в точці x у момент часу t, а v — швидкість хвилі. Будь-яка двічі диференційовна функція вигляду f(x − vt) або f(x + vt) є точним розв'язком — вона описує хвилю довільної форми, що рухається праворуч або ліворуч зі швидкістю v, не змінюючи форми.
У тривимірному просторі член ∂²/∂x² замінюється лапласіаном ∇²u, що робить рівняння обертально симетричним. Це єдине рівняння керує величезним діапазоном явищ: звуковими хвилями (стисненнями та розрідженнями тиску повітря), електромагнітними хвилями (коливаннями електричного та магнітного полів), сейсмічними P-хвилями (хвилями стиснення крізь надра Землі), а також, як наближення, поверхневими хвилями на воді для малих амплітуд.
Суперпозиція та інтерференція
Хвильове рівняння лінійне: якщо u₁(x,t) і u₂(x,t) — обидва розв'язки, то будь-яка їхня лінійна комбінація αu₁ + βu₂ теж є розв'язком. Ця лінійність — математична основа принципу суперпозиції. Коли дві хвилі займають одну й ту саму область простору, вони просто додають свої зміщення в кожній точці, незалежно одна від одної. Після того як вони пройдуть одна крізь одну, обидві хвилі продовжують рух незмінними.
Коли зустрічаються дві хвилі однакової частоти і довжини хвилі, результат залежить від їхньої відносної фази. Якщо вони синфазні (гребені збігаються з гребенями), амплітуди додаються: конструктивна інтерференція подвоює амплітуду. Якщо вони точно протифазні (гребені збігаються з впадинами), амплітуди скасовуються: деструктивна інтерференція дає нульове зміщення. Томас Юнг використав це у своєму знаменитому досліді з двома щілинами 1801 року, продемонструвавши, що світло створює інтерференційну картину зі смуг, що чергуються, — світлих і темних, — переконливий доказ того, що світло є хвилею.
Навушники з шумозаглушенням реалізують деструктивну інтерференцію електронним шляхом: мікрофон вловлює навколишній звук, електронно інвертує його (зсуваючи фазу на 180°), і інвертований сигнал скасовує вхідний шум біля вуха слухача. Ефект може зменшити низькочастотний шум на 20 дБ і більше.
Стоячі хвилі
Коли хвиля зустрічає нерухому межу (жорстку стіну, кінець закріпленої струни), вона відбивається. Відбита хвиля рухається у протилежному напрямку, але просторово перекривається з падаючою хвилею. За певних частот дві хвилі інтерферують, утворюючи стоячу хвилю: картину, яка коливається за амплітудою, але не поширюється.
Стоячі хвилі мають вузли — точки постійного нульового зміщення — і пучності — точки максимального коливання. На гітарній струні, закріпленій з обох кінців, основна мода має єдину пучність у центрі та вузли на кожному кінці, з довжиною хвилі, що дорівнює подвоєній довжині струни. Вищі гармоніки вміщують 2, 3, 4... півхвилі на довжину струни. Це резонансні частоти; струна природно підсилює їх і пригнічує інші, тому щипкові струни видають тони з характерним тембром, визначеним гармонічним складом.
Спостерігайте суперпозицію, інтерференцію та утворення стоячих хвиль у реальному часі за допомогою симуляції хвиль. Змінюйте частоту, амплітуду та граничні умови, щоб дослідити, як картини стоячих хвиль виникають із взаємодії падаючої та відбитої хвиль.
Фазова та групова швидкість
Для чистої синусоїдальної хвилі u = A·cos(kx − ωt) фазова швидкість дорівнює v_p = ω/k — швидкість, з якою рухаються гребені хвилі. У недисперсійному середовищі (наприклад, натягнутій струні) усі частоти поширюються з однаковою швидкістю, і v_p стала. У дисперсійному середовищі v_p залежить від частоти (або, еквівалентно, від хвильового числа k), і залежність ω(k) називається дисперсійним співвідношенням.
Локалізований хвильовий пакет — той тип, що переносить енергію та інформацію — складається із суперпозиції багатьох частот. Обвідна пакета рухається з груповою швидкістю v_g = dω/dk. Для гравітаційних хвиль на глибокій воді ω = √(gk), тому v_g = (1/2)√(g/k) = v_p/2. Це означає, що гребені хвиль рухаються вдвічі швидше за енергію: вони виникають ззаду пакета, перетинають його і зникають попереду. Це можна побачити в кільватерному сліді корабля або камінця, кинутого у спокійну воду.
Для квантово-механічних частинок співвідношення де Бройля E = ħω і p = ħk роблять групову швидкість точно рівною класичній швидкості частинки v = p/m — прекрасна перевірка узгодженості між хвильовою механікою та ньютонівською механікою у відповідній межі.
Фур'є-моди та хвильові пакети
Будь-яку функцію можна розкласти на синусоїдальні компоненти за допомогою перетворення Фур'є. Локалізований хвильовий пакет — компактний у просторі — вимагає широкого розподілу частот (хвильових чисел), щоб утворитися за допомогою суперпозиції. І навпаки, ідеально монохроматична хвиля (одна частота) простягається у просторі нескінченно. Цей компроміс кількісно описується теоремою про смугу пропускання: Δx · Δk ≥ 1/2, де Δx — просторова ширина пакета, а Δk — ширина розподілу його хвильових чисел.
В обробці сигналів це перетворюється на добуток часу й смуги пропускання: Δt · Δf ≥ 1/2. Короткі імпульси (мале Δt) вимагають широкої смуги пропускання (велике Δf). Саме тому швидкісні волоконно-оптичні комунікації потребують широких спектральних каналів, і саме тому конструктори радарів стикаються з компромісом між роздільною здатністю за дальністю та за доплерівським зсувом. У квантовій механіці множення на ħ перетворює це на принцип невизначеності Гайзенберга: Δx · Δp ≥ ħ/2.
Де Бройль і хвилі матерії
У 1924 році Луї де Бройль запропонував у своїй докторській дисертації, що частинки матерії мають пов'язану з ними довжину хвилі: λ = h/p, де h = 6,626 × 10⁻³⁴ Дж·с — стала Планка, а p — імпульс частинки. Спершу це вважали зухвалим припущенням — але де Бройль виходив із релятивістської узгодженості: співвідношення для фотона Ейнштейна E = hf у поєднанні з E = pc для фотонів передбачало довжину хвилі для будь-якої частинки з імпульсом.
Експериментальне підтвердження прийшло у 1927 році. Клінтон Девіссон і Лестер Джермер у Bell Labs вивчали розсіювання електронів на нікелевому кристалі, коли випадково відпалили кристал до великого монокристала з регулярною атомною ґраткою. Розсіяні електрони утворили дифракційні піки саме під тими кутами, які передбачала довжина хвилі де Бройля, — доказ того, що електрони є хвилями. Джордж Педжет Томсон одночасно спостерігав дифракцію електронів крізь тонкі металеві фольги і поділив Нобелівську премію 1937 року з Девіссоном.
Рівняння Шредінгера (1926) — це хвильове рівняння для хвиль матерії, у якому вбудоване співвідношення де Бройля. Там, де класичне хвильове рівняння має v²∂²u/∂x², рівняння Шредінгера має (ħ²/2m)∂²ψ/∂x², що еквівалентно після підстановки імпульсу де Бройля. Таким чином хвильова механіка природно виникає з поширення фізики класичних хвиль на квантову область.