Навчання #33 – Комплексний аналіз у фізиці та інженерії |…

Комплексні числа й площина Аргана

Комплексне число z = x + iy — точка на площині Аргана, з дійсною частиною Re(z) = x і уявною частиною Im(z) = y. Модуль |z| = √(x² + y²) і аргумент arg(z) = arctan(y/x) дають полярну форму z = r e^iθ, де формула Ейлера

Формула Ейлера — найкрасивіше рівняння в математиці e^iθ = cos θ + i sin θ
e^iπ + 1 = 0 (тотожність Ейлера)
Доведення: ряд Тейлора e^iθ = 1 + iθ − θ²/2! − iθ³/3! + … = cos θ + i sin θ

Множення в полярній формі: z₁ z₂ = r₁r₂ e^{i(θ₁+θ₂)} — модулі перемножуються, аргументи додаються. Теорема Муавра: (e^iθ)ⁿ = e^inθ дає sin(nθ) і cos(nθ) через степені sin/cos. n-і корені з одиниці — це z_k = e^2πik/n, рівномірно розподілені на одиничному колі.

Аналітичні функції й рівняння Коші-Рімана

Функція f(z) = u(x,y) + iv(x,y) комплексно диференційовна у точці z₀, якщо границя (f(z₀+h) − f(z₀))/h існує при h → 0 з будь-якого напрямку на комплексній площині. Це накладає жорстке обмеження — рівняння Коші-Рімана:

Рівняння Коші-Рімана ∂u/∂x = ∂v/∂y і ∂u/∂y = −∂v/∂x

Наслідок: і u, і v задовольняють рівняння Лапласа
∇²u = 0 і ∇²v = 0
u і v називають гармонійно спряженими

Функцію, диференційовну на всій області, називають аналітичною (або голоморфною) там. Аналітичні функції мають чудові властивості:

Диференційовна один раз ⟹ диференційовна нескінченно багато разів (на відміну від дійсних функцій!).
Зображувана збіжним степеневим рядом (рядом Тейлора) у крузі.
Визначається у всій зв'язній області значеннями на будь-якій дузі (принцип єдиності).
Їхні дійсна й уявна частини гармонійні — вони моделюють потенціальні поля.

Поширені аналітичні функції

Многочлени, e^z, sin z, cos z, ln z (з розрізом гілки) аналітичні поза своїми особливими точками. Ключові тотожності:

sin z = (e^iz − e^−iz)/(2i) | cos z = (e^iz + e^−iz)/2
sinh z = (e^z − e^−z)/2 | sin(iz) = i sinh z
ln z = ln|z| + i arg(z) (багатозначна; розріз гілки на від'ємній дійсній осі)

Контурні інтеграли й теорема Коші

Ми інтегруємо комплексні функції вздовж шляхів (контурів) на комплексній площині. Теорема Коші: якщо f(z) аналітична в однозв'язній області, то ∮_C f(z) dz = 0 для будь-якого замкненого контуру C у цій області. Це комплексний аналог незалежності інтеграла від шляху для консервативних полів.

Інтегральна формула Коші f(z₀) = (1/2πi) ∮_C f(z)/(z − z₀) dz (C охоплює z₀)

f⁽ⁿ⁾(z₀) = (n!/2πi) ∮_C f(z)/(z − z₀)ⁿ⁺¹ dz

Наслідок: значення аналітичної f усередині C повністю визначені граничними значеннями

Інтегральна формула Коші нетривіально потужна: знання f на межі круга визначає її всюди всередині. Саме тому аналітичні функції настільки жорсткіші за гладкі дійсні функції. Формула також дає всі похідні задарма, доводячи, що аналітична ⟹ C∞.

Особливі точки, ряди Лорана й теорема про лишки

Там, де функції перестають бути аналітичними, вони мають особливі точки. У кільці r₁ < |z − z₀| < r₂ навколо особливої точки f розкладається в ряд Лорана:

Ряд Лорана і лишок f(z) = ∑_n=−∞^∞ aₙ (z − z₀)ⁿ

Лишок: Res(f, z₀) = a₋₁ (коефіцієнт при (z−z₀)⁻¹)

Типи особливих точок:
• Усувна: головна частина (члени з n<0) = 0, особливість можна усунути
• Полюс порядку m: головна частина скінченна, aₙ = 0 для n < −m
• Істотно особлива: нескінченна головна частина (напр., e^1/z у 0)

Теорема про лишки — робочий кінь прикладного комплексного аналізу:

Теорема про лишки ∮_C f(z) dz = 2πi ∑ Res(f, zₖ) (сума за полюсами всередині C)

Також: Res(f, z₀) = lim_z→z₀ [(z−z₀) f(z)] для простого полюса
Для полюса порядку m: Res = (1/(m−1)!) lim d^m−1/dz^m−1 [(z−z₀)ᵐ f(z)]

Вдало обираючи контури (зазвичай велике півколо, замкнене у верхній або нижній півплощині), теорема про лишки обчислює дійсні інтеграли, що не піддаються елементарним методам. Класичні приклади:

∫₋∞^∞ dx/(1+x²) = π   (один простий полюс у i)
∫₀^∞ sin(x)/x dx = π/2   (лема Жордана, контур «замкова щілина»)
∫₀^2π dθ/(a + b cos θ) = 2π/√(a²−b²)   (контур одиничного кола)

Конформні відображення

Аналітична функція w = f(z) з f′(z) ≠ 0 є конформним відображенням: вона зберігає кути між кривими. Це робить конформні відображення ключовим інструментом розв'язання 2D крайових задач: відобразити складну область на просту (круг, півплощину), розв'язати там, відобразити назад.

Перетворення Мьобіуса

Сімейство w = (az+b)/(cz+d), ad−bc ≠ 0, відображає кола й прямі на кола й прямі. Будь-яке перетворення Мьобіуса є композицією зсувів, обертань, масштабувань та інверсії w = 1/z. Три точки визначають єдине перетворення Мьобіуса; ангармонійні відношення зберігаються.

Перетворення Жуковського

Відображення Жуковського w = z + R²/z перетворює коло на площині z в аеродинамічний профіль на площині w. У поєднанні з циркуляцією Γ (умова Кутта) воно дає потік, що створює підіймальну силу навколо крила:

Профіль Жуковського й теорема Кутта-Жуковського про підіймальну силу w = z + c²/z (відображення Жуковського, c = R для симетричного профілю)
Комплексний потенціал: F(z) = U(z + R²/z) + (iΓ/2π) ln(z/R)
Підіймальна сила на одиницю розмаху: L = ρ U Γ (теорема Кутта-Жуковського)
Γ = 4πUR sin α (для тонкого симетричного профілю під кутом атаки α)

Відображення Шварца-Крістоффеля

Формула Шварца-Крістоффеля відображає верхню півплощину (або одиничний круг) на внутрішність многокутника із заданими кутами вершин: dw/dz = K ∏ (z − xₖ)^{(αₖ/π − 1)}, де x₁<x₂<…<xₙ — дійсні прообрази вершин многокутника, а αₖ — внутрішні кути. Це лежить в основі обчислення електричних полів усередині хвилеводів і навколо гострих країв провідників.

Фізичні застосування

2D безвихрова течія рідини

Для нестисливої безвихрової 2D течії поле швидкостей виводиться з потенціалу швидкості φ: v = ∇φ з ∇²φ = 0. Оскільки φ задовольняє рівняння Лапласа, вона є дійсною частиною аналітичного комплексного потенціалу F(z) = φ(x,y) + iψ(x,y), де ψ — функція течії (∇φ · ∇ψ = 0: лінії течії ⊥ еквіпотенціалям). Комплексна швидкість dF/dz = vₓ − ivᵧ. Конформні відображення перетворюють прості потоки (рівномірний, вихор, джерело) в довільні геометрії — основа класичної аеродинаміки до появи CFD.

2D електростатика й метод зображень

Електростатичний потенціал V задовольняє ∇²V = −ρ/ε₀. У вільних від заряду областях ∇²V = 0, тому V гармонійна. Метод зображень розміщує фіктивні заряди поза областю, щоб задовольнити граничні умови: заряд q поблизу заземленої площини створює дзеркальний заряд −q у дзеркальній точці. Конформні відображення поширюють це на циліндричну, сферичну та складніші геометрії провідників.

Імпеданс кіл змінного струму

Для синусоїдальних сигналів на кутовій частоті ω напруги та струми представляються комплексними фазорами V = V₀ e^iωt. Імпеданси комплексні: Z_R = R, Z_L = iωL, Z_C = 1/(iωC). Комплексний імпеданс Z(ω) одночасно кодує величину (|Z|) і фазовий кут (arg Z). Резонанс настає, коли Im Z = 0; поглинута потужність дорівнює Re(V I*)/2. Саме тому комплексні числа викладають на кожній програмі з електротехніки.

Перетворення Фур'є та Лапласа, квантова механіка

Перетворення Фур'є F(ω) = ∫ f(t) e^−iωt dt — комплексна функція частоти. Полюси F(ω) на комплексній площині ω визначають поведінку в часовій області: полюси в нижній півплощині → експоненційно затухаючі коливання (стабільні). Перетворення Лапласа F(s) = ∫₀^∞ f(t) e^−st dt використовують для причинних сигналів; обернене перетворення — контурний інтеграл Бромвіча, замкнений у лівій півплощині. У квантовій механіці інтеграл за траєкторіями Фейнмана і пропагатор K(x,t; x₀,t₀) природно виражаються через контурні інтеграли, а полюси S-матриці на комплексній площині імпульсу відповідають зв'язаним станам і резонансам.

Аналітичне продовження й дзета-функція Рімана

Якщо дві аналітичні функції збігаються на кривій чи відкритій множині, вони збігаються всюди на спільній області аналітичності — це аналітичне продовження. Воно дозволяє розширити функцію за межі її початкової області: дзета-функція Рімана ζ(s) = ∑ n^−s збігається лише при Re(s) > 1, але аналітичне продовження розширює її на всю ℂ, крім s = 1. Гіпотеза Рімана (усі нетривіальні нулі лежать на Re(s) = 1/2) еквівалентна найточнішим відомим оцінкам функції підрахунку простих чисел π(x) і залишається однією з проблем тисячоліття.

Дзета-функція Рімана й функціональне рівняння ζ(s) = ∑_n=1^∞ n^−s = ∏_{p просте} (1 − p^−s)⁻¹
Функціональне рівняння: ζ(s) = 2ˢ πˢ⁻¹ sin(πs/2) Γ(1−s) ζ(1−s)
Тривіальні нулі: s = −2, −4, −6, …
Нетривіальні нулі: s = ½ + iγₙ (гіпотеза Рімана: усі мають Re(s) = ½)

Головні висновки

Комплексна диференційовність (аналітичність) значно жорсткіша за дійсну диференційовність: аналітична ⟹ C∞, степеневий ряд, глобальні обмеження.
Рівняння Коші-Рімана пов'язують комплексну диференційовність із гармонійним аналізом; дійсна й уявна частини аналітичних функцій задовольняють рівняння Лапласа.
Теорема про лишки перетворює замкнені контурні інтеграли на суми лишків, що дозволяє систематично обчислювати дійсні невласні інтеграли.
Конформні відображення зберігають кути й перетворюють складні межі на прості, розв'язуючи задачі з рівнянням Лапласа у 2D течії рідини, електростатиці та теплопровідності.
Комплексні фазори, перетворення Фур'є/Лапласа й квантові пропагатори — усі використовують алгебраїчну й геометричну потужність ℂ.
Аналітичне продовження надає функціям на кшталт ζ(s) сенс за межами їхньої початкової області; гіпотеза Рімана пов'язує нулі ζ з глибинною структурою простих чисел.