Девлог #43 – Хвиля 23: топологія, ЗТВ і космологія

Статистика платформи після Хвилі 23

350

Симуляцій

Категорій

130

Постів у блозі

Хвиль

Spotlight

Навчання

Девлогів

Пости Хвилі 23

Опубліковано разом із цією хвилею

📊 Spotlight #44 — загальна теорія відносності й космологія (∼17 хв) 📖 Навчання #33 — комплексний аналіз у фізиці (∼16 хв)

Нові симуляції

📊

Візуалізатор PCA / SVD

Аналіз головних компонент і сингулярний розклад на живій 2D-діаграмі розсіювання. Згенеруйте синтетичний набір даних із керованою дисперсією, коваріацією та викидами. Спостерігайте, як алгоритм обчислює коваріаційну матрицю, діагоналізує її та малює осі головних компонент, масштабовані за їхніми власними значеннями. Стовпчаста діаграма показує пояснену дисперсію на компонент; повзунок дозволяє проєктувати хмару на k головних компонент і реконструювати з різним k, щоб побачити якість стиснення.

Вкладка SVD розкладає довільну матрицю 3×3 M = U Σ Vᵀ і анімує три геометричні перетворення: обертання V, масштабування Σ, обертання U. Сингулярні значення пропорційні ширині стовпчиків; ранг матриці — це кількість ненульових сингулярних значень.

Canvas 2D PCA / SVD Інтерактивна

Інженерна замітка: інкрементна коваріація й власний розклад

Коваріаційна матриця C = XᵀX/(n−1) (дані з нульовим середнім) обчислюється за час O(n·d²). Для d = 2 власні значення слідують замкненій формулі: λ₁,₂ = (σₓ² + σᵧ²)/2 ± √((σₓ² − σᵧ²)²/4 + σₓᵧ²). Власні вектори обчислюються через обертання Якобі 2×2 та оновлюються наживо в міру перетягування точок — усе без жодної бібліотеки лінійної алгебри, лише браузерний JS. Інтерфейс SVD використовує ітеративну бідіагоналізацію Голуба-Райнша для випадку 3×3, що сходиться за ≤ 10 ітерацій.

PCA й максимізація дисперсії C = (1/n) Xᵀ X (коваріаційна матриця даних з нульовим середнім X ∈ ℝⁿˣᵈ)
C vₖ = λₖ vₖ (власний розклад)
Частка поясненої дисперсії: EVR(k) = λₖ / ∑ λⱼ
Похибка реконструкції: ‖X − X_recon‖² = ∑_j>k λⱼ (теорема Екарта-Юнга)

🍩

Тор і рід поверхні

Параметричні 3D-поверхні, відрендерені через Three.js r160: сфера (рід 0), тор (рід 1), подвійний тор (рід 2) і потрійний тор (рід 3). Обертайте мишею, стисніть для масштабування, перемикайте каркас/суцільна/обидва. Інформаційна панель показує рід g, характеристику Ейлера χ = 2 − 2g і рядок ідентифікації фундаментального многокутника (aba⁻¹b⁻¹ для тора).

Розділ про симпліціальні комплекси дозволяє переходити між рівнями роду, додаючи ручки; характеристика Ейлера V − E + F оновлюється в реальному часі. Теорема про волохату кулю демонструється спробою «розчесати» векторне поле на сфері (рід 0) проти тора (рід 1): тор допускає векторне поле без нулів.

Three.js r160 WebGL Топологія

Інженерна замітка: параметричний тор із приєднанням ручок

Поверхня роду g будується приклеюванням g торів-ручок до базової сфери. Для g = 1 використовується стандартна параметризація тора x = (R + r cos v) cos u, y = (R + r cos v) sin u, z = r sin v. Для g = 2 дві ручки приєднуються в антиподальних точках базової сфери, кожна ручка генерується перенесеним фрагментом тора й змішується з гладкою функцією-«горбом» для забезпечення неперервності C¹. BufferGeometry у Three.js індексує вершини для спільного використання нормалей на швах, утримуючи виклик рендеру WebGL до єдиної індексованої сітки на поверхню.

Характеристика Ейлера й теорема класифікації χ = V − E + F (характеристика Ейлера, топологічний інваріант)
χ = 2 − 2g для замкненої орієнтовної поверхні роду g
g = 0 (сфера): χ = 2 | g = 1 (тор): χ = 0
g = 2 (подвійний тор): χ = −2 | g = 3: χ = −4

Теорема Гаусса-Бонне: ∫∫ K dA = 2π χ (пов'язує кривину з топологією)

Гравітаційне лінзування (наголос на наявній симуляції)

Симуляція гравітаційного лінзування отримала суттєві оновлення в Хвилі 23: масу лінзи тепер можна прокручувати від мікролінзи з масою Сонця до скупчення галактик у 10¹⁵ M_☉, з автоматичним перемиканням між режимом мікролінзування (посилення точкового джерела) і режимом сильного лінзування (множинні контр-зображення й кільця Ейнштейна). Поверхня потенціалу Ферма малюється поруч із площиною зображення, показуючи, що два первинні зображення відповідають мінімумам і сідловим точкам Ферма. Додано керування еліптичністю джерела для візуалізації зсуву слабкого лінзування.

Пости в блозі цієї хвилі

Spotlight #44 — загальна теорія відносності й космологія

17-хвилинне глибоке занурення, що охоплює від принципу еквівалентності до проблеми космологічної сталої. Охоплює: метричний тензор і геодезичні; рівняння поля Ейнштейна (G_μν + Λg_μν = 8πG/c⁴ T_μν); метрику Шварцшильда, горизонт подій, фотонну сферу (r = 3r_s/2), ISCO (r = 3r_s), обертання Керра і процес Пенроуза; гравітаційне лінзування (кут відхилення 4GM/c²b, кільця Ейнштейна, Еддінгтон 1919); гравітаційне червоне зміщення та поправки GPS (+45.9 − 7.2 = +38.7 μс/добу); метрику FLRW, рівняння Фрідмана, Ω_m ≈ 0.315, Ω_Λ ≈ 0.685; акустичні піки реліктового випромінювання при ℓ ≈ 220, згасання Сілка, B-мод поляризації та інфляцію; рівняння стану темної енергії w ≈ −1 і проблему тонкого налаштування 10¹²³.

Навчання #33 — комплексний аналіз у фізиці

16-хвилинний структурований курс. Теми: комплексна площина, формула Ейлера (e^iπ+1=0), теорема Муавра, корені з одиниці; рівняння Коші-Рімана та гармонійні функції; теорема Коші й інтегральна формула (значення всередині визначені граничними значеннями); ряди Лорана, лишки, класифікація полюсів; теорема про лишки й застосування до класичних невласних інтегралів; конформні відображення (Мьобіуса, теорема Кутта-Жуковського про підіймальну силу профілю L = ρUΓ, Шварца-Крістоффеля для многокутних областей); фізичні застосування (2D потенціальна течія, комплексна швидкість dF/dz = vₓ − ivᵧ; метод зображень в електростатиці; фазори імпедансу змінного струму; контурні обернення Фур'є/Лапласа й квантові пропагатори); аналітичне продовження й гіпотезу Рімана.

Що далі: Хвиля 24

Хвиля 24 зосередиться на динаміці рідин, горінні та квантових обчисленнях. Заплановані симуляції включають:

Візуалізатор ряду Тейлора — поліноміальні наближення sin/cos/e^x з інтерактивним радіусом збіжності.
Кінетика Міхаеліса-Ментен — ферментна кінетика Vmax, Km, типи інгібіторів, графік Лайнуївера-Берка.
Оновлення візуалізатора ланцюгів Маркова — поглинальні стани, ергодичність, степенева ітерація PageRank.
Термодинамічна фазова рівновага — принцип Ле Шательє, ΔG проти Q/K, зсуви температури й тиску.
Чирп гравітаційних хвиль — форма хвилі злиття h(t), частотна розгортка, відгук детектора LIGO.

Пости в блозі: Spotlight #45 про динаміку рідин і турбулентність; Навчання #34 про термодинаміку й статистичну механіку.