Навчання #29 – Загальна теорія відносності та викривлений простір-час: від принципу еквівалентності до чорних дір

Загальна теорія відносності (ЗТВ) — теорія гравітації Ейнштейна 1915 року. Вона замінює ньютонівську силу тяжіння ідеєю, що масивні об'єкти викривляють геометрію простору-часу, а вільно падаючі тіла (включно зі світлом) рухаються найпрямішими можливими шляхами (геодезичними) крізь цю викривлену геометрію. ЗТВ пройшла кожну експериментальну перевірку з надзвичайною точністю впродовж століття. Цей допис вибудовує теорію від принципу еквівалентності до термодинаміки чорних дір.

1. Принцип еквівалентності та геодезичні

Принцип еквівалентності Ейнштейна (ПЕЕ) стверджує, що ефекти гравітації локально невідрізнювані від ефектів прискорення. Точніше: у достатньо малій області простору-часу закони спеціальної теорії відносності виконуються у вільно падаючій (інерціальній) системі відліку. З цього випливає, що гравітація повинна викривляти світло (якщо горизонтальний промінь світла викривляється в ракеті, що прискорюється, він також повинен викривлятися в гравітаційному полі) і викликати гравітаційне сповільнення часу.

Інтервал простору-часу (загальна метрика):
  ds² = g_μν dxμ dxν
  Сигнатура: (−,+,+,+)  [часоподібний ds²<0, просторовоподібний >0, нульовий =0]

Власний час:  dτ² = −ds²/c²

Рівняння геодезичної (вільне падіння у викривленому просторі-часі):
  d²xµ/dτ² + Γµ_(νρ) (dxν/dτ)(dxρ/dτ) = 0

Символи Крістоффеля (зв'язність Леві-Чівіти):
  Γµ_(νρ) = (1/2) gµσ (∂_ν g_σρ + ∂_ρ g_σν − ∂_σ g_νρ)
  Симетричні за нижніми індексами: Γµ_(νρ) = Γµ_(ρν)
  Не є тензором (обертається в нуль у локально інерціальній системі)

Коваріантна похідна:
  ∇_ν Vµ = ∂_ν Vµ + Γµ_(νρ) Vρ   (контраваріантний вектор)
  ∇_ν ω_µ = ∂_ν ω_µ − Γρ_(νµ) ω_ρ   (коваріантний вектор, 1-форма)

Паралельне перенесення:
  DVµ/dλ = (dVµ/dλ) + Γµ_(νρ)(dxν/dλ)Vρ = 0
  Геодезична = самопаралельна крива: DUµ/dτ = 0  де Uµ = dxµ/dτ
          

2. Кривина: Ріман, Річчі та тензор Ейнштейна

Тензор кривини Рімана вимірює порушення паралельного перенесення навколо замкненого контуру — еквівалентно, комутатор коваріантних похідних. Його згортки, тензор Річчі та скаляр Річчі, з'являються безпосередньо в рівняннях поля Ейнштейна.

Тензор Рімана (16&sup4; = 256 компонент; 20 незалежних за симетрією):
  Rσ_(μνρ) = ∂_νΓσ_(ρµ) − ∂_ρΓσ_(νµ) + Γσ_(νλ)Γλ_(ρµ) − Γσ_(ρλ)Γλ_(νµ)

Вимірює кривину через комутатор:
  [∇_μ, ∇_ν]Vρ = Rρ_(σμν) Vσ

Симетрії:
  R_μνρσ = −R_νμρσ = −R_μνσρ = R_ρσμν
  Алгебраїчна тотожність Б'янкі: R_[μνρσ] = 0
  Диференціальна тотожність Б'янкі: ∇_[λR|μν|ρσ] = 0

Тензор Річчі (симетричний, 10 незалежних):
  R_μν = Rρ_(µρν)  (згортка за 1-м і 3-м індексами)

Скаляр Річчі:
  R = gμνR_µν

Тензор Ейнштейна (симетричний, бездивергентний):
  G_μν = R_μν − (1/2)g_μνR
  ∇ν Gμν = 0  (згорнута тотожність Б'янкі → збереження Tμν)

Тензор Вейля C_μνρσ:
  Безслідова частина Рімана
  Керує приливними силами у вакуумі (R_μν=0 не означає Rσ_µνρ=0)
          

3. Рівняння поля Ейнштейна

Рівняння поля Ейнштейна (РПЕ) описують, як розподіл енергії та імпульсу породжує кривину простору-часу. Це 10 зв'язаних нелінійних диференціальних рівнянь у частинних похідних для метричного тензора g_μν.

Рівняння поля Ейнштейна:
  G_μν + Λ g_μν = (8πG/c&sup4;) T_μν

  G_μν = кривина простору-часу (геометрія)
  T_μν = тензор енергії-імпульсу (вміст матерії/енергії)
  Λ ≈ 1.1 × 10−&sup5;² м−² = космологічна стала (темна енергія)

Тензор енергії-імпульсу ідеальної рідини:
  Tµν = (ρ + p/c²) UµUν + p gµν
  Пил: p=0 → Tµν = ρc² UµUν
  ∇_ν Tµν = 0  ↔  рівняння Ейлера + збереження енергії

Слідо-обернена форма (корисна для лінеаризації):
  Rµν = (8πG/c&sup4;)(Tµν − (1/2)gµνT)
  Вакуум: Tµν = 0 → Rµν = 0 (річчі-плоский ≠ плоский)

Лінеаризована гравітація hµν = gµν − ηµν  (|h| ≪ 1):
  Слідо-обернене збурення: h̄µν = hµν − (1/2)ηµνh
  Калібрування Лоренца: ∂νh̄µν = 0

  □h̄µν = −(16πG/c&sup4;) Tµν   (хвильове рівняння)
  □ = ηµν∂µ∂ν = −∂&sub2;t/c² + ∇²   (Даламбертіан)

Ньютонівська межа: g_00 ≈ −(1 + 2Φ/c²), Φ = гравітаційний потенціал
  ∇²Φ = 4πGρ  (відновлюється рівняння Пуассона)
          

4. Розв'язок Шварцшильда

Карл Шварцшильд знайшов перший точний розв'язок РПЕ у грудні 1915 року — лише через кілька тижнів після того, як Ейнштейн опублікував остаточні рівняння — перебуваючи на Східному фронті Першої світової війни. Метрика Шварцшильда описує геометрію простору-часу назовні від сферично симетричної, обертонезалежної, незарядженої маси.

Метрика Шварцшильда (сферична симетрія, вакуум, M, J=0, Q=0):
  ds² = −(1−r_s/r)c²dt² + (1−r_s/r)−¹dr² + r²dΩ²
  r_s = 2GM/c² = радіус Шварцшильда

  Приклади:
    Сонце: r_s = 2.95 км  (R_sun = 696 000 км → далеко за горизонтом)
    Земля: r_s = 8.9 мм   (R_earth = 6371 км)
    M87*:  r_s = 2 × 10^10 км  (M ≈ 6.5 × 10^9 M_sun)

Ефективний потенціал для масивних частинок:
  V_eff(r) = (c²/2)[(1−r_s/r)(1 + L²/r²c²) − 1]
  де L = питомий кутовий момент
  Найвнутрішня стабільна кругова орбіта (ISCO): r_ISCO = 3r_s = 6GM/c²

Орбітальна прецесія Меркурія:
  Δφ_prec = 6πGM / [ac²(1−e²)]  за оберт
  Меркурій: a = 0.387 а.о., e = 0.206 → Δφ = 43.0 кутсек/століття  ✓

Гравітаційне червоне зміщення:
  ν_obs/ν_emit = √(g_00(r_emit) / g_00(r_obs))
  z = (1 − r_s/r)^(−1/2) − 1  ≈ GM/(rc²) для r ≫ r_s
  Паунд-Ребка (1959): виміряно z = 2.46 × 10^−15 при h=22.5 м  ✓

Фотонна сфера: r_ps = (3/2)r_s = 3GM/c²
  Нестабільна кругова орбіта для фотонів
  Радіус тіні на зображеннях EHT: r_shadow = 3√3 GM/c²
  Зображення M87* EHT (2019): діаметр тіні 40±3 µкутсек  (передбачено 39±1 µкутсек) ✓
          

5. Гравітаційні хвилі

Прискорена маса-енергія випромінює гравітаційні хвилі — брижі геометрії простору-часу, що поширюються зі швидкістю світла. Поперечно-безслідове (TT) калібрування виокремлює фізичні ступені свободи: дві поляризації, h₊ і h_×, які поперемінно стискають і розтягують перпендикулярні напрямки при проходженні хвилі.

Розв'язок у TT-калібруванні (дальнє поле, r ≫ λ_GW):
  h_ij^TT(t,r) = (2G/rc&sup4;) Ï_ij^TT(t_ret)
  де t_ret = t − r/c  (запізнений час)
  I_ij = ∫ ρ x_i x_j d³x  (тензор квадрупольного моменту маси)

Повна випромінена потужність (квадрупольна формула):
  P = −G/(5c&sup5;) ⟨Q̈_ij Q̈^ij⟩   де Q_ij = I_ij − (1/3)δ_ij I_kk

Подвійна система (дві однакові маси m, відстань a, кругова орбіта f_orb):
  P = (32/5) G^4 m^5 / (c^5 a^5)  (формула Пітерса)
  a(t) = a_0 (1 − t/t_merge)^(1/4)
  t_merge = (12/19) c_0^4/(B F(e)) ≈ 12/85 (c²0 a^4_0)/(4G^3 m² M)

LIGO GW150914 (14 вересня 2015):
  Дві чорні діри: m_1 ≈ 36 M_sun, m_2 ≈ 29 M_sun
  Пікова деформація: h ~ 10^−²¹ на 150 Гц
  Довжина плеча LIGO: L = 4 км → ΔL = hL/2 ~ 10^−¹&sup8; м ≈ 1/1000 радіуса протона
  Кінцева ЧД: M_f ≈ 62 M_sun (3 M_sun → енергія ГХ: ~ 5 × 10^47 Дж)

Пульсарні часові решітки (ПЧР):
  Нановерцевий фон ГХ виявлено 2023 (NANOGrav, EPTA, PPTA, CPTA)
  f ~1–100 нГц, T_obs ~ 12.5 роки базисних вимірів, ~67 мілісекундних пульсарів

LISA (заплановано, 2034, ESA/NASA):
  3 космічні апарати, плече 2.5 млн км, 0.1 мГц–1 Гц
  Цілі: злиття надмасивних ЧД z<20, галактичні подвійні білі карлики, хвильові форми EMRI
          

6. Чорні діри та випромінювання Гокінга

Чорна діра — це область простору-часу, де швидкість втечі перевищує c: жоден каузальний сигнал не може вирватися з-під горизонту подій. Розв'язок Керра (1963) розширює Шварцшильда на обертові чорні діри й передбачає ергосферу — область, де простір-час захоплюється настільки сильно, що ніщо не може залишатися нерухомим. Стівен Гокінг показав у 1974 році, що квантова теорія поля поблизу горизонту призводить до теплового випромінювання, надаючи чорним дірам скінченну температуру та тривалість життя.

Метрика Керра (координати Бойєра-Ліндквіста, M, J=Ma, Q=0):
  ds² = −(1−r_s r/Σ)c²dt² − (2r_s ra sin²θ/Σ)c dt dφ
           + (Σ/Δ)dr² + Σdθ² + (r²+a²+r_s ra²sin²θ/Σ)sin²θ dφ²
  Σ = r² + a²cos²θ,  Δ = r² − r_s r + a²
  a = J/(Mc) = питомий кутовий момент  (0 ≤ a ≤ GM/c)

Зовнішній горизонт подій (найбільший корінь Δ=0):
  r_+ = GM/c² + √((GM/c²)² − a²)
  Екстремальний Керр: a = GM/c² → r_+ = GM/c² (найменший можливий радіус ЧД)

Ергосфера (де g_tt = 0):
  r_ergo = GM/c² + √((GM/c²)² − a²cos²θ)
  Між ергосферою і горизонтом можна видобути кутовий момент (процес Пенроуза)

Процес Пенроуза:
  Частинка розпадається всередині ергосфери: одна падає з від'ємною E (відносно нескінченності)
  Інша вилітає з E_esc > E_initial → ЧД втрачає обертання
  Максимально видобувна енергія: ~21% маси спокою (для екстремального Керра)
  Процес Бландфорда-Знаєка: магнітна версія, живить джети АЯГ

Випромінювання Гокінга (1974 — квантовий ефект):
  T_H = ℏc³ / (8πGM k_B)
  ЧД сонячної маси: T_H ≈ 60 нанокельвінів  (незначно порівняно з РМФВ 2.7 К)
  ЧД астероїдної маси (M ~ 10^15 г): T_H ~ 10^11 К → випаровується зараз

Ентропія чорної діри (Бекенштайна-Гокінга):
  S_BH = k_B A / (4 l_Pl²)   де l_Pl = √(ℏG/c³) = 1.6 × 10^−35 м
  A = 4πr_+²  (площа горизонту подій; зростає в класичних процесах: 2-й закон)

Парадокс інформації:
  Випромінювання Гокінга суто теплове → жодна інформація не виходить?
  Порушує унітарність квантової механіки (дискусія навколо кривої Пейджа)
  Розв'язки: fuzzball'и (теорія струн), файрвол (AMPS), формула острова (голографія)
          

Спробуйте ці симуляції