Хвиля 52: розорення гравця, стохастичні процеси й K-кратна симетрія

Хвиля 52 одним поглядом

🎲 Розорення гравця

Задача розорення гравця запитує: гравець починає з капіталом W і ставить одну одиницю за раз, вигруючи з імовірністю p і програючи з імовірністю q = 1 − p. Гра зупиняється, коли капітал досягає цілі T (виграш) або нуля (розорення). Яка ймовірність зрештою розоритися?

Аналітичний розв'язок

Точна формула залежить від того, чи гра чесна:

• Якщо p ≠ 0.5:
  P(розорення | W) = [(q/p)^W − (q/p)^T] / [1 − (q/p)^T]
• Якщо p = 0.5 (чесна гра):
  P(розорення | W) = (T − W) / T

Для трохи невигідної гри (наприклад, казино-рулетка з p ≈ 0.4737), починаючи з W = 50 при цілі T = 100, ймовірність розорення вже перевищує 98%. Асиметрія величезна навіть за невеликих відхилень від чесної гри.

Критерій Келлі

Критерій Келлі дає частку ставки, що максимізує довгостроковий приріст капіталу. Для простих рівних ставок:

Монте-Карло

Симуляція генерує до 200 незалежних траєкторій випадкового блукання одночасно. Траєкторії забарвлюються червоним, коли вони досягають розорення (капітал = 0), зеленим, коли досягають цілі, і фіолетовим для траєкторій, що ще тривають. Оцінка P(розорення) методом Монте-Карло швидко сходиться до аналітичної формули.

📈 Стохастичні процеси й процес Вінера

Процес Вінера (стандартний броунівський рух) — це неперервний у часі випадковий процес W(t), що задовольняє: W(0) = 0; прирости W(t) − W(s) гаусові з середнім 0 і дисперсією t − s; прирости на неперетинних інтервалах незалежні. Це граничний масштаб простого випадкового блукання й будівельний блок стохастичного числення.

Чотири режими процесу

1. Стандартний броунівський рух (процес Вінера)

СДР: dX = μ dt + σ dW — адитивний дрейф плюс гаусів шум. Дисперсія зростає лінійно: Var[X(t)] = σ²t. Затінена смуга довіри показує обвідну ±1σ навколо теоретичного середнього шляху.

2. Геометричний броунівський рух (GBM — модель акцій Блека-Шоулза)

СДР: dS = μS dt + σS dW. Розв'язок — S(t) = S₀ exp((μ − σ²/2)t + σW(t)). Логарифмічні прибутковості розподілені нормально; ціни логнормальні й завжди додатні. Це модель, що лежить в основі формули ціноутворення опціонів Блека-Шоулза.

3. Процес Орнштейна-Уленбека (повернення до середнього)

СДР: dX = κ(θ − X) dt + σ dW. Параметр κ контролює, наскільки швидко процес повертається до довгострокового середнього θ. Використовується для моделювання процентних ставок (модель Васічека), цін на сировину та міжспайкових інтервалів у нейронауці. Дисперсія сходиться до σ²/(2κ) при t → ∞.

4. Пара корельованих броунівських рухів

Два арифметичні процеси BM, що ділять корельований шум: dW₂ = ρ dW₁ + √(1−ρ²) dZ, де Z ⊥ W₁. Сині траєкторії — це X₁, рожеві — X₂. Кореляція ρ ∈ (−1, 1) контролює, наскільки тісно вони рухаються разом — важливо для моделювання корельованих активів у теорії портфеля.

Білий шлях — це вибіркове середнє за всіма симульованими траєкторіями. Для всіх режимів середнє сходиться до теоретичного очікування зі зростанням кількості траєкторій.

🔯 K-кратна обертальна симетрія

Обертальна симетрія порядку K означає, що об'єкт виглядає ідентично після повороту на 360°/K. Група симетрії — циклічна група Cₖ. Коли включені також відображення (дзеркальний режим), група стає дигедральною групою Dₖ, подвоюючи кількість копій.

Алгоритм малювання

Кожен сегмент штриха від (x₁, y₁) до (x₂, y₂) спочатку переноситься до центру полотна, потім малюється K разів, кожна копія повертається на k × 2π/K відносно попередньої. У дигедральному режимі для кожного сектора додається дзеркальна копія (y → −y перед поворотом), даючи загалом 2K копій.

Оскільки штрихи накопичуються на постійному позаекранному полотні, деталі поступово нашаровуються, створюючи мандальні й калейдоскопічні візерунки. Напрямні лінії (тьмяні розділювачі секторів) оновлюються в реальному часі при зміні K.

Групи шпалер

Кнопки пресетів відповідають чотирьом групам шпалер, досяжним із чистою обертальною симетрією на ґратці:

• p1 — без обертальної симетрії (K = 1, лише трансляція)
• p2 — 2-кратне (180°) обертання, точкова симетрія
• p4 — 4-кратне (90°) обертання, ознака квадратної ґратки
• p6 — 6-кратне (60°) обертання, гексагональна ґратка — найпоширеніша в ісламському геометричному мистецтві

Готовий твір можна зберегти як PNG без втрат за допомогою кнопки Save PNG, що запускає пряме завантаження полотна → data-URL.

Що далі

Кандидати на хвилю 53 з черги включають симуляції рідин (перехід від ламінарного до турбулентного потоку, прикордонний шар), 3D-зграї риб та генерацію ісламських геометричних візерунків. Черги з біології та фізики також добре наповнені. Пропозиції вітаються через сторінку контактів.