Девлог #71 – Хвиля 51: плитки Трюше, закон Бенфорда & течія в трубі

Хвиля 51 одним поглядом

Плитки Трюше — мозаїки на основі зерна з чотирьох поворотів

Себастьєн Трюше описав у 1704 році, як єдина квадратна плитка з діагональною лінією, розміщена у чотирьох орієнтаціях, може покрити площину величезною кількістю візуально відмінних візерунків. Сучасне узагальнення дозволяє співіснувати кільком типам плиток, кожен з яких обирається незалежно для кожної клітини.

Симулятор використовує легкий лінійний конгруентний генератор (LCG), що ініціюється числом, яке задає користувач, що гарантує повну відтворюваність кожної мозаїки:

x_n+1 = (1664525 × x_n + 1013904223) mod 2³²

Доступно чотири дизайни плиток: плавні діагональні дуги, що утворюють з'єднані криві по всій сітці; прямі діагоналі, що створюють різкі зигзагоподібні лінії; кути з чвертю кола, що складаються у плавні петлі; та хрести, що додають чотиристоронні з'єднання. Усі чотири можуть бути активними одночасно в межах однієї мозаїки; кожен малюється за допомогою викликів Canvas 2D arc і lineTo всередині блоку трансформації save()/rotate()/restore().

Колірні теми

Симулятор постачається з чотирма темами: Класична (кремові дуги на майже чорному), Океан (градієнт від бірюзового до кораловго), Ліс (приглушені зелені відтінки) та Неон (яскраво насичені флуоресцентні кольори на майже чорному). Кожна тема визначає і колір фону, і колір штриха, тож зміна теми повністю перетворює візуальний характер того самого зерна — наочно показуючи, що естетична варіація та процедурна структура ортогональні одна одній.

Закон Бенфорда — аномалія першої цифри

Закон Бенфорда стверджує, що в багатьох природно виникаючих числових наборах даних перша цифра d (1–9) з'являється з імовірністю:

P(d) = log₁₀(1 + 1/d)

Результат контрінтуїтивний: цифра 1 є першою приблизно у 30.1% випадків, тоді як цифра 9 — лише у 4.6%. Закон проявляється щоразу, коли набір даних охоплює кілька порядків величини і є масштабно-інваріантним — перехід між валютами, одиницями довжини чи масштабами населення не змінює розподіл.

Виявлення шахрайства за допомогою тесту χ²

Статистика узгодженості χ² порівнює спостережену частоту цифр O_d з очікуваною за Бенфордом кількістю E_d = N × P(d):

χ² = Σ_d=1⁹ (O_d − E_d)² / E_d

При 8 ступенях свободи критичне значення при α = 0.05 становить 15.51. Реальні набори даних (населення міст, довжини річок, магнітуди землетрусів, числа Фібоначчі) добре узгоджуються із законом і дають малі значення χ². Набір даних «Сфальсифіковані податкові декларації» генерується зі зміщенням у бік цифр 5-7 і завжди перевищує критичний поріг — демонструючи, чому судові бухгалтери використовують тести Бенфорда як перший рівень перевірки на аномалії.

Течія в трубі — профіль Хагена — Пуазейля

Повністю розвинена ламінарна течія через круглу трубу радіусом R, зумовлена градієнтом тиску dP/dx, створює класичний параболічний профіль швидкості, виведений незалежно Хагеном (1839) та Пуазейлем (1840):

u(r) = (R² − r²) / (4μ) × (−dP/dx)

де μ — динамічна в'язкість, а r — радіальна відстань від осі. Максимальна швидкість u_max = R²/(4μ) × (−dP/dx) досягається на осі, а об'ємна витрата дорівнює:

Q = πR⁴ / (8μ) × (−dP/dx)

Ця залежність четвертого степеня від радіуса — ключовий інженерний висновок: зменшення радіуса труби вдвічі знижує витрату у 16 разів при тому самому рушійному градієнті тиску. Симулятор демонструє це безпосередньо за допомогою повзунка радіуса.

Число Рейнольдса та режими течії

Безрозмірне число Рейнольдса характеризує баланс між інерційними та в'язкими силами:

Re = ρ u_avg D / μ

де D = 2R — діаметр, ρ — густина рідини, а u_avg = u_max/2. Нижче Re ≈ 2100 течія ламінарна, і параболічний профіль виконується точно. Між 2100 і 4000 течія перехідна; вище 4000 вона турбулентна, і замість параболи з'являється плаский профіль «турбулентного ядра». Симулятор відображає відповідну форму профілю та забарвлює індикатор режиму відповідно.

Пресети рідин

П'ять пресетів рідин охоплюють діапазон в'язкості у п'ять порядків величини:

• Вода при 20 °C — μ = 1.0 мПа·с, еталонний зразок.
• Повітря при 20 °C — μ ≈ 0.018 мПа·с, дуже низька в'язкість, високе Re при тій самій швидкості.
• Кров при 37 °C — μ ≈ 3 мПа·с, у реальності неньютонівська, але тут моделюється як ньютонівська; Re сильно варіюється в артеріях порівняно з капілярами.
• Моторна олива (SAE 30) — μ ≈ 100 мПа·с, в'язкість у 100 разів вища за воду; завжди ламінарна за звичайних умов.
• Мед — μ ≈ 10 000 мПа·с, екстремально ламінарна течія; масштаб швидкості потребує дуже високого градієнта тиску, щоб бути помітним.

Наступні кроки

Хвиля 52 просунеться далі в алгоритми та теорію ймовірностей. Кандидати включають коди виправлення помилок Хеммінга (SECDED, синдромне декодування), регресію до середнього (двовимірний нормальний розкид та прокляття Sports Illustrated), а також циклічні клітинні автомати (виникнення спіральних хвиль з N-станних порогових правил). Як завжди, пропозиції через сторінку контактів вітаються.